Теперь найдем формулу для вычисления объема цилиндра. Как обычно, речь пойдет о прямом круговом цилиндре.

Рис.15 Комбинации цилиндра и призмы

Напомним, что цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы, и наоборот, описанным – если основания описаны около оснований цилиндра. Также, напомним, что высоты у призмы и вписанного, равно как и описанного, цилиндров совпадут (см. Рис. 15).

Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. .

Формула схожа с формулой объема призмы, т. к., по сути, цилиндр – это предельный случай призмы, когда угольник в основании призмы стремится к окружности.

Рис. 16 Вписанная в цилиндр призма

Впишем в данный цилиндр радиуса и высоты правильную -угольную призму . Тогда логично, что в окружность основания цилиндра вписан правильный -угольник. Высота этой призмы будет также (см. Рис. 16).

Найдем объем призмы . Пусть – сторона основания призмы, – центр основания (см. Рис. 17). Тогда

Рис. 17 Треугольник в основании призмы

То есть

Наряду с этим опишем около данного цилиндра правильную -угольную призму . Высота этой призмы будет также (см. Рис. 18).

Рис. 18 Описанная около цилиндра призма

Рис. 19 Треугольник в основании )

Найдем объем призмы . Пусть – сторона основания призмы, – центр основания (см. Рис. 19). Тогда

То есть .

Таким образом, искомый объем цилиндра удовлетворяет неравенству , то есть он больше объема призмы, вписанной в него, и меньше объема призмы, описанной около него.

Устремим к бесконечности. С помощью замечательного предела можно получить, что обе площади устремятся к площади круга .

Первый замечательный предел

Вспомним замечательный предел: .

Тогда

Аналогично .

Подставляя эти результаты в формулы, получаем требуемый результат.

Значит, получаем, что , что и требовалось доказать.