Пирамида, вписанная в шар
Шар называют описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара. Пирамиду в этом случае называют вписанной в шар (рис. 1).
|
|
|
|
Рис. 1. Пирамида, вписанная в шар |
Рис. 2. Пирамида, вписанная в шар |
Несложно заметить, что вершины основания пирамиды лежат в одной плоскости, значит, они должны принадлежать одной окружности описанного шара. Таким образом, необходимым условием для того, чтобы вписать пирамиду в шар, является то, что многоугольник основания является вписанным (рис. 2).
Докажем, что это является также и достаточным условием.
Разветвление: доказательство
Заметим, что если основание пирамиды можно вписать в окружность, то ГМТ равноудаленных от вершин основания – перпендикуляр к плоскости основания, проведенный через центр описанной окружности (рис. 3). Осталось найти на этой прямой точку, которая равноудалена от вершин основания и от вершины пирамиды. Для этого рассмотрим любую вершину 
основания и вершину 
пирамиды. ГМТ точек, равноудаленных от них, – плоскость, проходящая через середину 
перпендикулярно ему. Но эта плоскость не может быть параллельна перпендикуляру к плоскости основания – в противном случае, точка лежала бы в основании (рис. 4). Значит, условие вписанности основания является необходимым и достаточным.
|
|
|
|
Рис. 3. Иллюстрация к доказательству |
Рис. 4. Иллюстрация к доказательству |
Любая треугольная пирамида, а также любая правильная пирамида могут быть вписаны в шар.
Задача №1
Условие. Найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 2 (рис. 5).
|
|
|
|
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1 |
Рис. 6. Треугольник |
Решение
Рассмотрим пирамиду 
, все ребра которой равны 2. Пусть 
– центр основания, 
– центр шара. Тогда очевидно, что лежит на 
, причем 
. И пусть 
– середина 
.
Рассмотрим плоскость 
(рис. 6). По теореме Пифагора из треугольника 
высота 
равна 
, а тогда 
. Далее найдем по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике 
.
Пусть 
. Тогда 
;
.
Решим уравнение: 
;
Осталось заметить, что радиус шара равен 
, то есть:
.
Ответ: 
Шар, вписанный в пирамиду
Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается плоскостей всех граней пирамиды (рис. 7).
Рис. 7. Шар, вписанный в пирамиду
В любую треугольную (рис. 8) и любую правильную пирамиду можно вписать шар, причем его центр будет лежать на высоте пирамиды, а точки касания с боковыми гранями – на апофемах (рис. 9).
|
|
|
|
Рис. 8. Шар, вписанный в треугольную пирамиду |
Рис. 9. Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду |
Задача №2
Условие: найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду 
, сторона основания которой равна 10, а боковое ребро – 13 (рис. 10).
|
|
|
|
Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2 |
Рис. 11. Треугольник |
Решение
Пусть – центр шара, – центр основания, – середина 
, 
– середина 
. В силу сформулированного утверждения лежит на . Рассмотрим треугольник 
. По условию расстояния от точки до 
, 
и 
должны быть равными – это и есть радиусы шара. Таким образом, – просто центр вписанной окружности в треугольник , радиус этой окружности и надо найти (рис. 11).
Очевидно, 
, из треугольника 
равно 12 (в силу теоремы Пифагора).
Тогда 
.
Значит 
Ответ: 
.
Заключение
На уроке мы разобрали комбинации шара и пирамиды, а также решили задачи на нахождение радиусов вписанного и описанного шара.
Список литературы
- Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
- Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
- Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.
Домашнее задание
- В правильный тетраэдр с ребром 6 вписана сфера. Найдите радиус сферы.
- В правильный тетраэдр вписана сфера радиуса 5. Найдите радиус сечения этой сферы плоскостью, перпендикулярной высоте тетраэдра и делящей ее в отношении 2:1, считая от вершины тетраэдра.
- Около правильного тетраэдра описана сфера радиуса 5. Найдите длину ребра тетраэдра.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
