Условие. Найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 2 (рис. 5).


Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1	Рис. 6. Треугольник

Решение

Рассмотрим пирамиду , все ребра которой равны 2. Пусть – центр основания, – центр шара. Тогда очевидно, что лежит на , причем . И пусть – середина .

Рассмотрим плоскость (рис. 6). По теореме Пифагора из треугольника высота равна , а тогда . Далее найдем по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике .

Пусть . Тогда ;

.

Решим уравнение: ;

Осталось заметить, что радиус шара равен , то есть:

.

Ответ: