Шар называют описанным около конуса, если вершина конуса и окружность основания конуса принадлежат поверхности шара. Конус в этом случае называют вписанным в шар (см. рис. 2). Аналогично с усечённым: его можно вписать в шар, если окружности обоих его оснований лежат на поверхности шара.

Рис. 2. Шар, описанный около конуса

Всегда ли конус можно вписать в шар? Оказывается, что всегда.

Доказательство. Пусть – вершина конуса, – диаметр его основания, – высота конуса ().

Рис. 3. Иллюстрация условия

Тогда рассмотрим осевое сечение , около которого можно описать окружность (свойство треугольника) (см. рис. 4).

Рис. 4. Окружность, описанная около треугольника

Отметим точку – центр описанной окружности около треугольника . Она лежит на перпендикуляре , но не обязательно строго на отрезке – она может лежать и вне его, вне конуса, например под точкой (см. рис. 5).

Рис. 5. Возможные расположения точки

Но это неважно. Важно доказать, что если точка равноудалена от точек , и (см. рис. 6), то она является центром описанного шара.

Рис. 6. равноотдалена от точек , и

Для этого необходимо доказать, что точка и все точки основания лежат на поверхности шара. Рассмотрим шар с центром в точке и радиусом (см. рис. 7).

Рис. 7. Шар с центром в точке и радиусом

По построению , значит, точки и также лежат на поверхности шара (они удалены на радиус ). С другой стороны, если рассмотреть любую точку , которая лежит на основании конуса, то (по двум катетам: – общий катет, – как радиусы основания) (см. рис. 8).

Рис. 8.

Тогда гипотенузы тоже равны , значит, , откуда следует, что точка также лежит на поверхности шара.

Либо проще. – перпендикуляр, ось конуса. Любая точка на оси равноудалена от точек окружности основания. Тогда, раз точка равноудалена от точек , и , значит, она и является центром искомого шара (см. рис. 9). Что и требовалось доказать.

Рис. 9. – центр искомого шара

Доказательство

Докажем, что конус всегда можно вписать в шар. По сути, нужно найти точку, которая равноудалена от вершины конуса и всех вершин окружности его основания. Заметим, что ГМТ (ГМТ - геометрическое место точек) равноудалённых от окружности основания, – это перпендикуляр, проведённый к плоскости основания из центра этой окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. ГМТ, равноудалённых от окружности основания

С другой стороны, ГМТ равноудалённых от точек и – это плоскость, проходящая через середину отрезка , перпендикулярная ему. Очевидно, эта плоскость не параллельна высоте конуса, а значит, пересекает её (см. рис. 2).

Рис. 2. ГМТ равноудалённых от точек и

Точка пересечения и будет искомым центром шара, т. к. она равноудалена от точек основания конуса и от его вершины (см. рис. 3). Отметим, что эта точка может быть как внутри конуса, так и вне его.

Рис. 3. Точка пересечения плоскости и высоты конуса