Введение
На этом уроке мы поговорим об окружностях. Вспомним, что такое касательная и хорда и что мы про них знаем.
Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки на окружности (Рис. 1). В частности, диаметр – это наибольшая из хорд.
Рис. 1. Хорда
Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку (Рис. 2).
Рис. 2. Касательная к окружности
Что мы знаем про касательную? Самое главное – что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (Рис. 3).
Рис. 3. Радиус перпендикулярен касательной
Теорема о хорде и касательной
Теорема. Угол меду касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает данная хорда (Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Нужно доказать: 
.
Доказательство
– касательная, 
– хорда. Рассмотрим 
(центр окружности) и проведем радиусы 
и 
, тогда треугольник 
– равнобедренный (Рис. 5). Пусть 
. По теореме о касательной и радиусе 
, тогда 
, а значит, 
.
Рис. 5. Иллюстрация к доказательству
Осталось заметить, что 
, а значит, , ч.т.д.
Чаще всего используется не эта теорема, а следствие из нее. Мы ведь помним, что половине дуги равен еще один угол – вписанный. Значит, в силу теоремы угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту дугу, которую стягивает хорда. Посмотрим, как это применяется на примерах.
Пример (теорема о хорде и касательной)
Пример 
(из ЕГЭ)
Угол между хордой и касательной 
к окружности равен 
(Рис. 6). Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.
Рис. 6. Иллюстрация к условию
Решение
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённый между ними, 
. Значит, искомая величина дуги равна 
.
Ответ: 
.
Теорема о касательной и секущей
Теорема. Пусть 
– касательная к окружности, 
– секущая, которая пересекает окружность в первый раз в точке 
(Рис. 7). Тогда 
.
Рис. 7. Иллюстрация к теореме
Теорема о касательной и секущей
Докажем теорему о касательной и секущей.
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Заметим, что 
– угол между касательной и хордой (Рис. 1). 
по сформулированному нами следствию.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Угол 
у них общий, а . Значит, треугольники подобны по двум углам (Рис. 2).
Рис. 2. Равные углы
Тогда из подобия имеем: 
, откуда .
Обратите внимание, что все отрезки содержат общую вершину . Иногда эту теорему ошибочно применяют, записывая в правой части равенства 
. Это, конечно, неверно, так что не забудьте про общую вершину.
В свою очередь и теорема о касательной и секущей имеет широкое применение в задачах и других теоремах.
Примеры (теорема о касательной и секущей)
Пример 
В окружности провели диаметр . Прямая, проходящая через точку , пересекает в точке 
касательную к окружности, проведенную через точку 
. Отрезок делится окружностью пополам. Найти угол 
(Рис. 8).
Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2
Решение
, так как это угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания.- Пусть
, где 
– точка пересечения и окружности. Тогда, по теореме о касательной и секущей, 
. - Из треугольника :
, значит,
Ответ: 
.
Пример 
Из точки , лежащей вне окружности, проведены касательная 
и секущая : 
, 
, расстояние от центра окружности до секущей равно 
. Найти радиус окружности (Рис. 9).
Рис. 9. Иллюстрация к примеру 3
Решение
Пусть – центр окружности. По теореме о касательной и секущей, 
. Тогда 
.
Рассмотрим треугольник 
. Он равнобедренный (
). Пусть 
– его высота (Рис. 10).
Рис. 10. Треугольник
По условию, 
. Но – и медиана, тогда 
, значит, по теореме Пифагора в треугольнике 
: 
.
Ответ: 
.
Теорема о двух секущих
Теорема. Из точки провели две секущие, первая пересекает окружность в точках и , вторая – в точках 
и (Рис. 11). Тогда 
.
Рис. 11. Иллюстрация к теореме
Доказательство
Проведем касательную 
(Рис. 12).
Рис. 12. Иллюстрация к доказательству теоремы
Тогда, по теореме о касательной и секущей, имеем 
и 
. Приравнивая правые части, получаем требуемое равенство.
Теорема о пересекающихся хордах
Теорема. Пусть хорды и 
пересекаются в точке 
(Рис. 13). Тогда 
.
Рис. 13. Две пересекающиеся хорды
Теорема о пересекающихся хордах
Докажем эту теорему. Рассмотрим треугольники 
и 
. 
(как вертикальные), 
(опираются на одну дугу). Значит, 
(по двум углам, Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Отсюда, 
. Пользуясь свойством пропорции, имеем: 
.
Примеры (теорема о пересекающихся хордах)
Пример 
В окружности с центром проведены хорды и , пересекающиеся в точке , причем 
, 
, 
. Найти угол 
(Рис. 14).
Рис. 14. Иллюстрация к примеру 4
Решение
По теореме об отрезках пересекающихся хорд 
, т.е. 
, значит, 
. Тогда в равнобедренном треугольнике 
(
: 
– медиана (
. Но тогда – высота. Получается, что искомый угол 
.
Ответ: 
.
Пример 5
Расстояние от точки окружности до ее центра равно 
. Радиус окружности равен 
. Через точку провели хорду длиной 
. Найти отрезки хорды, на которые она делится точкой (Рис. 15).
Рис. 15. Иллюстрация к примеру 5
Решение
Пусть – проведенная хорда, 
– диаметр, содержащий . Тогда по условию 
, 
, 
, 
.
Пусть 
, тогда 
.
По теореме о пересекающихся хордах: 
. Решаем полученное уравнение: 
. Значит, искомые отрезки – 
и 
.
Ответ: и .
Степень точки относительно окружности
Рассмотрим произвольную точку и окружность. Точка может находиться внутри окружности или вне ее.
Обозначим 
точку вне окружности и 
точку внутри окружности. Проведем через точку произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки 
и 
, и через точку произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки 
и 
(Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к условию
Тогда степенью точки 
относительно окружности называется произведение 
, а степенью точки 
относительно окружности называется произведение 
.
Что же получается? Мы же можем провести разные прямые. Что, будут разные степени? Ничего подобного. Мы ведь доказали, что такое произведение постоянно для любой прямой, проходящей через точку : если внутри окружности, то это теорема о пересекающихся хордах, а если вне – то теорема о секущих. Так что определение не зависит от выбора прямой.
Иногда степень точки определяют и для точек, лежащих на окружности. В этом случае логично взять степень, равную нулю (в нашей формуле один из множителей будет равен 
).
Заключение
На этом уроке мы разобрали несколько важных теорем, связанных с окружностью и отрезками в ней, выяснили, чему равен угол между касательной и хордой, и научились применять все эти теоремы на практике.
Список рекомендованной литературы
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2009.
- Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.
- Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «youclever.org» (Источник)
- Интернет-портал «samlib.ru» (Источник)
- Интернет-портал «ja-znaju.ru» (Источник)
Домашнее задание
– точка пересечения хорд и . 
, 
, 
. Найти .- Из точки к окружности проведена касательная
см и секущая 
, которая первый раз пересекает окружность в точке , а второй раз – в точке . Известно, что в два раза меньше . Найти длину секущей. - Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых равны
и 
. Внешний отрезок второй секущей на 
меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.
