Пример

В окружности с центром проведены хорды и , пересекающиеся в точке , причем , , . Найти угол (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 4

Решение

По теореме об отрезках пересекающихся хорд , т.е. , значит, . Тогда в равнобедренном треугольнике (: – медиана (. Но тогда – высота. Получается, что искомый угол .

Ответ: .

Пример 5

Расстояние от точки окружности до ее центра равно . Радиус окружности равен . Через точку провели хорду длиной . Найти отрезки хорды, на которые она делится точкой (Рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 5

Решение

Пусть – проведенная хорда, – диаметр, содержащий . Тогда по условию , , , .

Пусть , тогда .

По теореме о пересекающихся хордах: . Решаем полученное уравнение: . Значит, искомые отрезки – и .

Ответ: и .

Степень точки относительно окружности

Рассмотрим произвольную точку и окружность. Точка может находиться внутри окружности или вне ее.

Обозначим точку вне окружности и точку внутри окружности. Проведем через точку произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки и , и через точку произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки и (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к условию

Тогда степенью точки относительно окружности называется произведение , а степенью точки относительно окружности называется произведение .

Что же получается? Мы же можем провести разные прямые. Что, будут разные степени? Ничего подобного. Мы ведь доказали, что такое произведение постоянно для любой прямой, проходящей через точку : если внутри окружности, то это теорема о пересекающихся хордах, а если вне – то теорема о секущих. Так что определение не зависит от выбора прямой.

Иногда степень точки определяют и для точек, лежащих на окружности. В этом случае логично взять степень, равную нулю (в нашей формуле один из множителей будет равен ).