Дано: постройте треугольник по периметру и двум углам (Рис. 1).

Рис. 1. Данные условия задачи

Построить .

Решение: начнем с анализа задачи. Нам дан периметр, причем . Также нам известны два угла и . Предположим, что искомый треугольник построен (Рис. 2).

Рис. 2. Изображение к анализу задачи

Давайте отложим сторону , проведя окружность с центром в точке и получим точку , причем . По такому же принципу получим точку , проведя окружность с центром в точке и радиусом (). Мы получили отрезок, длина которого равна (Рис. 3).

Рис. 3. Изображение к анализу задачи

Рассмотрим треугольник , его сторона равна заданному периметру треугольника. Рассмотрим углы. Учитывая, что , получаем, что треугольник – равнобедренный. Аналогично – равнобедренный. Значит, используя свойства равнобедренных треугольников, получаем, что в каждом из них углы при основании равны.

Осталось связать эти углы с углами и . Вспомним теорему о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним. Угол (Рис. 4).

Рис. 4. Изображение к теореме о внешнем угле

Применив данную теорему к нашей задаче, мы получим, что .

Аналогично получаем, что (Рис. 5).

Рис. 5. Изображение к анализу задачи

1.

Теперь мы примерно представляем, какова будет схема построения. Построить треугольник не составит труда (мы знаем в нём длину стороны и два угла), но как отложить точки и ? Есть несколько способов, но самым удобным и простым будет воспользоваться свойством серединного перпендикуляра. Проведем серединный перпендикуляр для прямых и и получим точки и , равноудаленные от концов соответствующих отрезков (Рис. 6).

Рис. 6. Изображение к анализу задачи

Переходим к схеме построения.

Построим по стороне и двум прилежащим углам.
Провести – серединный перпендикуляр к .
Провести – серединный перпендикуляр к .

Искомый треугольник построен.

Докажем, что треугольник построен правильно. Сумма длине его сторон равна стороне , то есть равна заданному значению , а прилежащие к ней углы равны данным в условии. Значит, построенный треугольник – искомый.

Что касается исследования, то единственное ограничение на углы: сумма данных углов (иначе треугольник не будет существовать, так как сумма его углов будет больше ).