Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Рис. 7

Доказательство:

Совместим наложением треугольники АВС и А₁В₁С₁. Предположим, что вершины А и А₁, а также С и С₁ совместились наложением, а вершина В и точка В₁ не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

Рис. 8

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ₁ (по определению – по условию АВ = АВ₁). Поэтому по свойству, ∠АВ₁В = ∠АВВ₁. Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Рис. 9

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ₁ является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ₁ = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90^о. Таким образом, ∠АВ₁В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ₁) не может быть равен углу ∠АВВ₁, ведь данный угол – тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В₁ оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А₁В₁С₁ совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

Омский государственный университет (Источник).
Справочный портал calc.ru (Источник).
Учительский портал (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20^о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.