Признаки равенства прямоугольных треугольников

Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников

Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90^о).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники

Доказательство:

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

АВС = .

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

.

Треугольники равны по первому признаку.

Введение и доказательство второго признака равенства прямоугольных треугольников

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3

Доказательство:

Рис. 4

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

 

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

 

Треугольники равны по второму признаку.

Введение и доказательство третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рис. 5

Вспомним второй признак равенства треугольников:

 Рис. 6

Данные треугольники равны, если:

 

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А₁), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B₁) доказывается следующим образом:

.

Поскольку АВ = А₁В₁ ( по условию), ∠В = ∠В₁, ∠А = ∠А₁. Поэтому треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по второму признаку.

Введение и доказательство четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников, введение понятия «внешний угол треугольника»

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

 

 

 

 

 

Рис. 7

Доказательство:

Совместим наложением треугольники АВС и А₁В₁С₁. Предположим, что вершины А и А₁, а также С и С₁ совместились наложением, а вершина В и точка В₁ не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

Рис. 8

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ₁ (по определению – по условию АВ = АВ₁). Поэтому по свойству, ∠АВ₁В = ∠АВВ₁. Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Рис. 9

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ₁ является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ₁  = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС  = ∠САВ + 90^о. Таким образом, ∠АВ₁В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ₁) не может быть равен углу ∠АВВ₁, ведь данный угол – тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В₁ оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А₁В₁С₁ совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Омский государственный университет (Источник).
2. Справочный портал calc.ru (Источник).
3. Учительский портал (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20^о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.