Теорема о сумме углов треугольника
В этом уроке мы рассмотрим виды треугольников. Рассмотрение видов треугольников базируется на важной теореме о сумме углов треугольника.
Теорема 1: Сумма углов треугольника равна 
.
Дано: ∆АВС.
Доказать: ∠1 + ∠2 + ∠3 =
.
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 1. Рисунок к теореме 1
Через точку В проведем прямую а, параллельную стороне АС. Такая прямая существует и является единственной. ∠1 = ∠4 по свойству параллельных прямых и секущей АВ, по этому же свойству ∠3 = ∠5. ∠4 + ∠2 + ∠5 = , а значит, ∠1 + ∠2 + ∠3 =. Теорема доказана.
АВ = АС – боковые стороны. ВС – основание.
Теорема о внешнем угле треугольника
Перед тем как рассмотреть теорему о внешнем угле треугольника, следует сказать о внешнем угле. ∠4 (смежный с ∠3) – внешний угол ∆АВС.
Теорема 2: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Дано: ∆АВС.
Доказать: ∠4 =∠1 +∠2.
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 2. Рисунок к теореме
2
Значит, ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.
Виды треугольников
Виды треугольников
1. Если в треугольнике все углы острые, то такой треугольник называется остроугольным.
Рис. 3. Остроугольный треугольник
Примеры: а. ∠1 = ∠2 = ∠3 =
. Значит, в сумме имеем .
б. ∠1 =
, ∠2 = ∠3 =
.
2. Если в треугольнике есть угол, равный 
, то такой треугольник называется прямоугольным.
∠С =
.
Рис. 4. Прямоугольный треугольник
∠А + ∠В + 
=.
∠А +∠В =
–
=. Значит, ∠А и ∠В острые. Таким образом, в прямоугольном треугольнике один угол , два остальные угла – острые.
Для сторон прямоугольного треугольника существуют специальные названия. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а другие стороны называются катетами.
3. Если в треугольнике один угол находится в пределах (;), то такой треугольник называется тупоугольным.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник
∠А + ∠В =– ∠С. ∠А и ∠В – острые.
Пример 1: Докажите, что в любом треугольнике найдется хотя бы один угол, величина которого не меньше 
.
Доказательство:Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 6. Чертеж к примеру 1
Докажем методом «от противного». Пусть ∠А <, ∠B <, ∠C <, тогда ∠А + ∠В + ∠С <, это невозможно, поскольку ∠А + ∠В + ∠С =.
Список рекомендованной литературы
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
Pекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
- Треугольники (Источник)
- Прямая линия,отрезок (Источник)
Рекомендованное домашнее задание
- № 49. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
- Докажите, что не может выполняться следующее утверждение: в этом треугольнике наименьший угол равен
- Найдите углы треугольника, если два из них относятся как 3:5, а третий равен половине их суммы.
- Каждый из двух внешних углов треугольника равен
Докажите, что данный треугольник равносторонний. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
