Повторение теоретического материала
Сначала вспомним, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.
Рис. 1. Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:
АВС = 
.
Вспомним второй признак равенства треугольников:
Рис. 2. Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников гласит, что треугольники могут быть равны по трем сторонам.
Рис. 3. Третий признак равенства треугольников
Подразумевается, что у данных треугольников равны все элементы, но мы доказываем равенство только трех элементов, и этого нам оказывается достаточно для утверждения равенства треугольников.
Не будем забывать о равнобедренном треугольнике – треугольнике с двумя равными сторонами.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
боковые стороны треугольника, а ВС – основание треугольника. Важно заметить, что отрезок AD является и биссектрисой угла А, и медианой к стороне ВС, и высотой к стороне ВС. Немаловажно указать равенство углов 
.
Решение задач
Рассмотрим типовые задачи по этой теме.
Пример 1: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. Дано, что 
. 
- биссектрисы. Доказать, что 
Рис. 5. Условие к примеру 1
Доказательство:
Из равенства треугольников 
следует равенство всех соответствующих их элементов. В частности, 
, АВ = 
,
а также 
, так как данные углы – половины равных углов 
.
В свете вышеуказанного, треугольники 
по второму признаку. Из равенства следует, что .
Что и требовалось доказать.
Если смотреть с позиции того, что , то все соответствующие стороны и углы совместятся наложением, например, АС и 
, ∠АВС и ∠
и т.д. В конечном счете, и биссектрисы 
и 
совместятся, а значит, они равны.
Пример 2: Прямая 
проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что:
А.Каждая точка прямой 
равноудалена от точек А и В.
Дано: АМ = МВ, 
. Доказать: СА = АВ.
Б.Каждая точка, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой .
Дано: АМ = МВ, , AD = DB. Доказать: D
.
Решение:
А. Выполним рисунок к задаче:
Рис. 6. Условие к примеру 2а
Поскольку АМ = МВ, ∠АМС = ∠СМВ = 90°, а сторона СМ – общая у треугольников АМС и ВМС, то данные треугольники равны. Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. В частности, АС = СВ.
Что и требовалось доказать.
Б.
Рис. 7. Условие к примеру 2б
В равнобедренном треугольнике АВD (по определению, так как AD = DB) MD является медианой, а значит, и высотой. Поэтому 
, поэтому D.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что если точка равноудалена от концов отрезка, она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
Рекомендованное домашнее задание
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Докажите, что треугольники ABЕ и ЕCA равны. Отрезки ВЕ и ОС точкой пересечения делятся пополам. Прямые АВ и АЕ, а также СЕ и АЕ перпендикулярные.
3. Докажите, что ∠САО = ∠СВО, если ОА = ОВ, а AK = BK.
4. На указанном рисунке ∠AKC = ∠BPC. Докажите, что если AP = BK, то ∠АВС = ∠ВАС.
