Общие положения по поводу построения
Определим, какие действия мы можем выполнять при помощи циркуля и линейки. Во-первых, с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также прямую, проходящую через две точки. Через две точки можно провести прямую, и при том только одну.
С помощью циркуля можно построить окружность заданного радиуса.
Рис. 1. Окружность и прямая
Решение задач
Пример 1: На заданном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Отрезок АВ и луч ОС даны по условию:
Рис. 2.1. Условие к примеру 1
Построение:
Рис. 2.2. Решение к примеру 1
Построение выполняем следующим образом: строим окружность с центром в точке О и радиусом АВ. Точка D является точкой пересечения окружности и луча. Отрезок OD – искомый, так как он равен АВ.
Построение выполнено.
Пример 2: Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить 
.
Построение:
Рис. 3.1. Условие к примеру 2
1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С – являются точками пересечения со сторонами угла А.
Рис. 3.2. Решение к примеру 2
2. На луче ОМ построить окружность с центром в точке О радиуса r = АВ. Получаем точку D на пересечении луча ОМ и окружности
3. Строим третью окружность с центром в точке D радиуса r = BC (где В и С точки пересечения угла А и первой окружности) и получаем точку Е на пересечении двух окружностей
Рис. 3.3. Решение к примеру 2
4. Получаем искомый угол МОЕ = углу А
5. Угол МОЕ – искомый, так как 
.
Построение выполнено.
Пример 3: Построить биссектрису данного угла. Дан угол А, необходимо выполнить построение биссектрисы АЕ.
Рис. 4.1. Условие к примеру 3
Построение:
1. Построим окружность Окр(А, r = АB). Точки В и С – точки пресечения окружности со сторонами угла.
2. Выполним построение окружности Окр(В, r = CB) и окружности Окр(С, r = CB). Данные окружности пересекаются в точке Е.
3. Луч АЕ – биссектриса – искомый, так как 
. Из этого следует, что 
.
Рис. 4.2. Решение к примеру 3
Построение выполнено.
Пример 4: Из точки, лежащей на данной прямой, требуется провести перпендикуляр к данной прямой.
Построение:
1. МА = МВ. Мы зафиксировали определенные равные отрезки по обе стороны от заданной точки.
2. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.
3. PМ – искомая прямая. Медиана РМ есть и высота в равнобедренном треугольнике РАВ. 
.
Рис. 5. Решение к примеру 4
Построение выполнено.
Пример 5: Построить середину данного отрезка. АВ – отрезок. Найти точку О, такую, что АО = ОВ.
Рис. 6.1. Условие к примеру 5
Построение:
1. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.
2. PQ пересекает АВ в точке О, точка О – искомая, так как 
, поэтому PQ – биссектриса в равнобедренном треугольнике РАВ. Следовательно, PQ – медиана.
Рис. 6.2. Решение к примеру 5
Построение выполнено.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
Рекомендованное домашнее задание
1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Увеличьте произвольный угол на 25%.
3. Постройте угол, который равен сумме (разности) двух углов, изображенных на рисунках.
4. Докажите, что если две стороны и угол, который лежит против большей из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, который лежит против большей стороны второго треугольника, то эти треугольники равны.
