Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"

Повторение определения равнобедренного и равностороннего треугольников

Вспомним предварительно определение равнобедренного треугольника.     

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

Определение: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.                                                                                                     

АВ = АС,  треугольник АВС – равнобедренный. АВ и АС – боковые стороны, ВС – основание.

Определение: Треугольник называется равносторонним, если у него все три стороны равны.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = АС = ВС, треугольник АВС – равносторонний.

Повторение свойств равнобедренного треугольника

Следует повторить следующие свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠В = ∠С.

2. Пусть точка D – середина ВС. Отрезок AD является медианой, биссектрисой и высотой треугольника.

Рис. 3. Свойства равнобедренного треугольника

Решение задач

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: На рисунке АВ = ВС, ∠1 = . Найдите ∠2.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

 

Рис. 4. Чертеж к примеру 1

1. ∠АСВ = – = (по свойству смежных углов). Значит, угол при основании равнобедренного треугольника равен .

2. ∠ВАС = ∠АСВ = (поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны).

3. ∠2 = ∠ВАС (как вертикальные), значит, ∠2 = ∠ВАС = .

Ответ:.

Пример 2: Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника ВСD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.

Дано: АВ = АС, ВС = СD = DB. = 40 см. = 45 см.

Найти: АВ и ВС.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 2

Решение: Пусть ВС = х, тогда все стороны равностороннего треугольника тоже равны х. Пусть АВ = у, тогда обе боковые стороны треугольника равны у. Следуя условию, 3х = 45. Найдем х. х = 45 : 3 = 15. Используем факт, что = 40 см. 15 + 2у = 40, 2у = 25, у = 25 : 2 = 12,5.

Ответ: АВ = 12,5 см, ВС = 15 см.

Пример 3: Медиана АМ в  треугольнике АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что ∠ВАС = ∠В + ∠С.

Дано: ВМ = МС, АМ = ВМ.

Доказать: ∠ВАС = ∠В + ∠С.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 3

Треугольник АМВ – равнобедренный, углы при основании равны, значит, ∠1 = ∠2.  треугольник АМС – равнобедренный, значит, углы при основании равны, ∠4 = ∠3.

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3

∠ВАС = ∠В + ∠С

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы решили задачи по теме «Равнобедренный треугольник». На следующем уроке мы изучим второй и третий признаки равенства треугольников.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Фестиваль педагогической идеи «Открытый урок» (Источник).
2. Кaknauchit.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.
2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
3. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой . Перпендикуляры АС и ВЕ, проведенные к прямой , равны. Точка О – середина отрезка СЕ. Докажите, что углы ОАВ и ОВА равны.
4. Медиана равнобедренного треугольника делит его периметр на части, которые равны 12 см и 9 см. Найдите стороны треугольника.