Тема: Четырехугольники
Урок: Признаки параллелограмма
1. Определение и основные свойства параллелограмма
Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Вспомним основные свойства параллелограмма:
Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, – параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.
2. Первый признак параллелограмма
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ 
(см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства указанных треугольников следует, что 
по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
.
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:
по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что и 
по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Пример на применение первого признака параллелограмма
Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.
Пример 1. В выпуклом четырехугольнике 
Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону 
.
Решение. Изобразим Рис. 4.
Рис. 4
параллелограмм по первому признаку параллелограмма.
А. 
по свойству параллелограмма о противоположных углах, 
по свойству параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне.
Б. 
по свойству равенства противоположных сторон.
Ответ. 
.
На следующем уроке мы рассмотрим еще один признак параллелограмма (третий).
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Terver.ru (Источник).
- Фестиваль педагогических наук "Открытый урок" (Источник).
- Nado5.ru (Источник).
Домашнее задание
- № 51 (а, д, е), 52 (а, г, д). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из сторон четырехугольника, равна
, то этот четырехугольник – параллелограмм. - Точки
и 
– соответственно середины сторон 
и 
параллелограмма 
. Докажите, что четырехугольник 
– параллелограмм. - В треугольнике
медиана 
перпендикулярна к стороне 
. Найдите 
.
