Пока мы ограничимся рассмотрением только выпуклых четырехугольников и для таких четырехугольников докажем теорему.

Теорема 2: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Доказательство: пусть , (см. рис. 8). Используем теорему о вписанном в окружность угле, тогда дуга .

Дуга . В сумме они составляют всю окружность, а значит, . Делим на два и получаем: .

Еще раз повторим ход доказательства, он прост. Если угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2. Если вписанный в окружность угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2.

Если точки, на которые эти углы опираются, совпадают, , а . Что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Дано: .

Доказательство: опишем окружность около трех точек, например, , , . . Докажем, что точка тоже лежит на этой окружности.

Предположим противное, пусть точка не лежит на окружности, а она лежит внутри круга, тогда продлим отрезки и и получим точки и , которые лежат на окружности (cм. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Используем теорему о внутреннем угла окружности. А она говорит, что внутренний угол окружности измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается. Дан угол , который опирается на дугу (см. рис. 10), пусть он измеряется в .

Угол опирается на дугу , который измеряется в : .

Доказано, что .

Рис. 10. Иллюстрация к доказательству

Почему? Достаточно всего лишь провести отрезок , чтобы получить требуемое (cм. рис. 10).

По теореме о вписанном угле, .

Для треугольника , угол – внешний, а внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Т.е. , что и говорилось.

Вернемся к рисунку 9: точка – внутренняя точка круга, значит, равен половине дуг, на которые он опирается.

Мы видим, что угол больше, чем половина дуги .

Угол равен половине оставшейся дуги .

Сложение этих углов дает: .

А так как дуги и в сумме составляют всю окружность, то . Значит, .

Противоречие, по условию, сумма противоположных углов равна 180 градусов. А значит, точка не может находиться внутри окружности.

Аналогично доказывается, что точка не может находиться вне окружности.

Задание

Докажите самостоятельно, что точка не может находиться вне окружности. При этом используйте свойство внешнего угла окружности, он измеряется полуразностью дуг, на которые опирается. Сравните ваше доказательство с доказательством, которое будет приведено ниже в разделе: «Точка вне окружности».

Итак, мы доказали, что точка не может находиться внутри окружности, не может находиться вне окружности, точка находится на окружности. Около четырехугольника можно описать окружность. Теорема доказана.