Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

Рис. 4

Доказательство:

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

Доказать, что

Обозначим угол через , тогда угол также будет равен , так как треугольник равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги есть . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла (см. Рис. 6).

Рис. 6

Доказать, что

Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол за и тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Угол за , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Вся дуга равна:

Угол в свою очередь, равен .

Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

Доказать, что

Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол через , тогда дуга (объяснение см. случай 1). Угол обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Дуга является разностью большой дуги и дуги :

Вписанный угол равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.