Докажем теорему Пифагора.

Задача № 1. Дано: прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С – прямой (90 °). Катет ВС = a, катет АС = b, гипотенуза АВ = с (рис. 3).

Доказать:

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Пифагора

Решение.

В формуле, которую нам необходимо доказать, фигурируют квадраты трех величин: квадраты с, а и b. В геометрии мы сталкиваемся с квадратами длин отрезков, когда считаем площади фигур. Но и, наверное, самая простая фигура, площадь которого можем посчитать – квадрат. Соответсвенно, первая мысль – достроить эту картинку до квадратов. Достроим треугольник АВС до квадрата со стороной а+b.

Для этого продолжим катет АС на длину катета ВС (+ а), а ВС на длину катета АС (+ b) (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Достроим получившуюся картинку до прямоугольника (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

У этого прямоугольника смежные стоороны равны (а+b). Значит, этот прямоугольник обязательно является квадратом. Обозначим получившиеся точки буквами. Получим квадрат СDEF.

Все стороны этого квадарта равны (а + b). Соответственно, стороны DE и EF тоже можем разделить на отрезки а и b. Обозначим эти точки буквами G и H. Соединим точку А с точкой G, точку G с точкой Н, точку Н с точкой В (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Квадрат СDEF оказался разрезанным на 5 фигур: 4 треугольника по углам и 1 четырехугольник в центре. Если этот четырехугольник окажется квадратом, то это будет удобно для нас. Но это сначала нужно доказать.

Выясним, что мы знаем про получившуюся фигуру. Все 4 треугольника обязательно являются прямоугольными,потому что каждый из них содержит один из углов квадрата (Ð С = Ð D = Ð Е = Ð F = 90°). Катеты в этих треугольниках равны а и b. Значит, все эти треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними). А если все эти треугольники равны друг другу, то равны все их соответсвенные элементы. Например, все гипотенузы у них обязательно равны с (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Значит, четырехугольник АGНВ – ромб. Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромб. Мы доказали, что все стороны равны, АG = GН = НВ = ВА = с. АGНВ – ромб.

Гипотенуза не единственное, что равно у наших треугольников. Еще у них равны все острые углы. Отметим это на картинке. Во-первых, равны Ð САВ = Ð DGA = Ð EHG = Ð FBH. Зеленым цветом обозначим эти углы, величиной α. И такие углы тоже равны: Ð СВА = Ð DAG = Ð EGH = Ð FHB. Красным цветом обозначим углы величиной b (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

На нашей картинке отмечено очень много углов, но не все. Остался, например, не отмеченным Ð GАВ. Вычислим его.

Эти три угла вместе, Ð DAG, ÐGAB, Ð CAB, составляют развернутый угол. Соответственно:

Ð GАВ = 180° - Ð CAB - Ð DAG = 180 ° - α - b.

Преобразуем эту формулу следующим образом:

Ð GАВ = 180° - (α + b).

У нас получилась сумма (α + b). Что такое сумма (α + b)? Это сумма острых углов прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Поэтому получается:

Ð GАВ = 180° - (α + b) = 180° - 90° = 90°. То есть Ð GАВ – прямой. А значит наш ромб АGНВ является квадратом. Если в ромбе один из углов прямой, то этот ромб обязательно квадрат.

Мы получили: большой квадрат СDEF, квадрат меньше АGНВ. Можно начинать записывать площади.

С одной стороны, СDEF – квадрат и его площадь можно посчитать как квадрат стороны:

С другой стороны, этот квадрат состоит из 5 фигур: 4 треугольников и квадрата в центре. Площадь квадрата в центре равна с², а четыре треугольника равны друг другу и площадь каждого из них – половина произведения катетов.

Площадь четырехугольника СDEF не зависит от того, каким образом мы с вами ее считаем. Она всегда одна и та же. Соответственно, мы можем приравнять наши равенства, но сначала их надо преобразовать.

В первом равенстве раскрываем квадрат суммы:

Во втором случае:

Первое выражение равно второму.

И там, и там есть 2аb. От них легко отказаться – сократим их. И получим:

То есть в нашем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Что и требовалось доказать.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств. Теорема Пифагора занесена даже в Книгу рекордов Гиннеса за счет того, что у нее так много доказательств. Интересным является тот факт, что многие из них почти не требуют алгебры. Вот, например, в Древней Индии использовали такой способ доказательства.