Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Сперва разъясним формулировку.

Имеем тругольник и треугольник , угол равен углу , и их можно совместить (см. Рис. 6).

Теорема говорит, что площади этих треугольников относятся следующим образом:

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Доказательство

1. Совместим равные углы, как это показано на рисунке 6.

2. Рассмотрим вершины и , то есть найдем отношение следующих площадей: треугольника и исходного треугольника (см. Рис. 7).

Рис. 7. Дополнительное построение отрезка , – высота, опущенная из вершины

3. Теперь найдем отношение площади треугольника к площади треугольника (см. Рис. 8):

Рис. 8. У треугольников и высота общая

4. Перемножим найденные отношения:

Что и требовалось доказать.