Площадь треугольника
Дано: 
, 
– основание, 
– высота
(
) (см. Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к теореме о площади треугольника
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство
Достроим треугольник до параллелограмма 
, как показано на рисунке 2.
Рис. 2. Дополнительное построение треугольника 
для получения параллелограмма 
Площадь паралеллограмма мы умеем высчитывать.
Рассмотрим параллелограмм :
1. – параллелограмм.
2. 
по трем сторонам (по свойствам параллелограмма противоположные стороны равны, а сторона 
– общая) (см. Рис. 3).
Рис. 3. Равенство треугольников 
и 
3. 
– как следствие из равенства треугольников, площадь треугольника равна половине площади паралеллограмма, формула площади параллелограмма нам уже известна, значит:
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим следствия этой теоремы.
Следствия из теоремы о площади треугольника
Следствие 1
Один из катетов прямоугольного треугольника можно принять за основание, тогда второй катет будет высотой. – основание, 
– высота (см. Рис. 4).
Рис. 4. Следствие теоремы о площади треугольника для прямоугольного треугольника
Следствие 2
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Доказательство
Имеем две параллельные прямые 
и 
, имеем два треугольника , 
, их высоты равны 
(расстояние между прямыми и ) (см. Рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация ко второму следствию
Что и требовалось доказать.
Теорема о зависимости площадей треугольников с одинаковым углом
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Сперва разъясним формулировку.
Имеем тругольник и треугольник , угол 
равен углу 
, и их можно совместить (см. Рис. 6).
Теорема говорит, что площади этих треугольников относятся следующим образом:
Рис. 6. Иллюстрация к теореме
Доказательство
1. Совместим равные углы, как это показано на рисунке 6.
2. Рассмотрим вершины 
и 
, то есть найдем отношение следующих площадей: треугольника 
и исходного треугольника (см. Рис. 7).
Рис. 7. Дополнительное построение отрезка 
, – высота, опущенная из вершины 
3. Теперь найдем отношение площади треугольника к площади треугольника (см. Рис. 8):
Рис. 8. У треугольников и 
высота 
общая
4. Перемножим найденные отношения:
Что и требовалось доказать.
Задача 1
Дано: , 
– основание, – высота, 
– площадь.
1. 
; 
(см. Рис. 9).
Найти: S
Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1.1
Решение:
Ответ: 
.
2. 
; 
(см. Рис. 10)
Найти: .
Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1.2
Решение:
Ответ: 
.
Задача 2
В следующей задаче в треугольнике рассмотрены следующие элементы: две стороны и две высоты, которые проведены к этим сторонам. Три элемента заданы, найти четвертый элемент.
Дано: , 
, 
, 
(см. Рис. 11).
Найти: 
.
Рис. 11. Иллюстрация к задаче 2
Решение
Площадь треугольника можно выразить через известную высоту и через неизвестную высоту.
Ответ: .
Задача 3
Дано: , 
, 
(см. Рис. 12).
Найти: 
, .
Рис. 12. Иллюстрация к задаче 3
Решение
Обозначим катеты треугольника как 
, значит:
Ответ: .
Задача 4
Дано:
(см. Рис. 13).
Найти: 1. 
; 2. 
.
Рис. 13. Иллюстрация к задаче 4
1. Рассмотрим, что общего у треугольников 
и 
. Их основания лежат на одной и той же прямой, значит, высота у них одинакова. А значит, площади относятся как основания из второго следствия. Поэтому:
2. Что общего у треугольников и ? Одно основание – 
, второе основание – , высота одинакова, значит:
Ответ: 1. 
; 2. 
Еще раз подчеркнем, что в этой задаче у всех трех треугольников была общая высота , это и помогло нам решить задачу.
Заключение
Мы рассмотрели важную теорему о площади треугольника, следствия из нее. Решили типовые задачи.
Список литературы
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия», 7–9 классы. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.
2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт onlinemschool.com (Источник)
3. Интернет-сайт 5klass.net (Источник)
Домашнее задание
1. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке 
. Докажите, что произведение площадей треугольников 
и 
равно произведению площадей треугольников 
и 
.
2. Основание треугольника на 4 меньше высоты, а площадь треугольника равна 96. Найдите основание и высоту треугольника.
3. Внутри параллелограмма выбрана произвольная точка 
и проведены отрезки 
, 
, 
и 
. Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?
