Рассмотрим два треугольника и , у которых соответствующие углы равны (см. рис. 6):

Рис. 6. Треугольники с равными углами

Стороны, которые лежат против равных углов треугольников, называются сходственными.

Перечислим сходственные стороны: и (лежат против равных углов ), и (лежат против равных углов ), и (лежат против равных углов ).

Определение

Два треугольника и называются подобными, если соответствующие углы равны, а сходственные стороны – пропорциональны:

Причем , где – это коэффициент подобия треугольников.

Оказывается, можно ограничиться лишь некоторыми из этих равенств чтобы гарантировать факт подобия. В этом заключается суть признаков подобия треугольников, которые подробно будут рассмотрены на следующих уроках.

Можно заметить, что пропорциональные отрезки играют важную роль в определении подобных треугольников. Рассмотрим задачу на пропорциональность отрезков.

Задача на пропорциональность отрезков

Теорема

Биссектриса угла треугольника рассекает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Докажем эту теорему.

Дано

Произвольный треугольник , – биссектриса угла .

Доказать

Доказательство

Запишем выражения для площадей образовавшихся треугольников и . Для этого опустим высоту из вершины .Выполним рисунок к задаче (см. рис. 1).

Рис. Иллюстрация к доказательству теоремы

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту получаем: , . Теперь найдем отношение этих площадей:

С другой стороны, биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Этим свойством обладают все точки, принадлежащие биссектрисе, в том числе точка . Поэтому расстояние от точки до сторон одинаковое, обозначим его . Тогда высоты треугольников и , опущенные к соответствующим основаниям и , равны . Можно переписать отношение площадей этих треугольников:

Левые части этих двух равенств равна, значит и правые часть также равны:

Теорема доказана.

На данном уроке мы рассмотрели подобие фигур, вспомнили признаки равенства треугольников, дали определение подобным треугольникам. Вспомнили о пропорциональности отрезков, теорему Фалеса и их роль в решении данных задач.

Список рекомендованной литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

Интернет-портал «egemaximum.ru» (Источник)
Интернет-портал «ru.solverbook.com» (Источник)
Интернет-портал «math10.com» (Источник)

Домашнее задание

Могут ли быть подобными: а) прямоугольный и равносторонний треугольники; б) равнобедренный и равносторонний треугольники; в) треугольник с углом и треугольник с углом ?
Из отрезков длиной , , , , и см составили два подобных между собой треугольника. Найдите коэффициент подобия этих треугольников.