Тема: Подобные треугольники
Урок: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
1. Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника
На этом уроке мы познакомимся с пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике, выведем соответствующие формулы.
Для этого нам понадобится первый признак подобия треугольников. Вспомним его: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).
Рис. 1
; 
. При этом коэффициент 
называется коэффициентом подобия.
2. Углы в прямоугольном треугольнике
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники.
Поскольку в прямоугольных треугольниках всегда есть пара равных углов (это прямые углы), то для них можно сформулировать следующий признак подобия: прямоугольные треугольники подобны, если имеют равные острые углы (см. Рис. 2).
Рис. 2
.
При этом отметим важный факт: в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна 
: 
Рассмотрим простую задачу для прямоугольного треугольника.
Дано: 
– прямоугольный (
), 
, 
– высота.
Найти: остальные углы треугольника (см. Рис. 3).
Решение:
Для решения задачи будем использовать сформулированный выше факт: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 
Рис. 3
. Значит, 
.
Кроме того, треугольник 
– также прямоугольный, поэтому сумма его острых углов также равна 
(см. Рис. 4).
Аналогично с треугольником 
: 
.
Рис. 4
Из этого свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведённой к гипотенузе, следует несколько важных фактов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой, которая проведена к гипотенузе (см. Рис. 5).
Рис. 5
– проекция катета 
на гипотенузу 
, 
– проекция катета 
на гипотенузу – это стандартные обозначения.
На Рис. 5 изображено три прямоугольных треугольника 
, причём в каждом из них есть острый угол 
. Значит, эти треугольники подобны по первому признаку подобия для прямоугольных треугольников: 
.
3. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
С помощью этого факта можно доказать три теоремы:
1. 
(катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).
2. 
(катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).
3. 
(высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).
Определение
Средним геометрическим двух неотрицательных чисел и называется такое неотрицательное число , что: 
.
Докажем сформулированные выше теоремы.
4. Доказательство теорем
Теорема 1. .
Доказательство:
Воспользуемся подобием треугольников 
. Запишем отношение соответствующих сторон: 
(отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: 
.
Доказано
Теорема 2. .
Доказательство:
Воспользуемся подобием треугольников 
. Запишем отношение соответствующих сторон: 
. (отношение сторон, лежащих против угла 
, равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: 
.
Доказано.
Теорема 3. .
Доказательство
Воспользуемся подобием треугольников 
. Запишем отношение соответствующих сторон: 
(отношение сторон, лежащих против угла 
, равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: 
.
Доказано.
5. Альтернативное доказательство теоремы Пифагора
Примечание:
Сформулируем ещё одно альтернативное доказательство теоремы Пифагора с помощью доказанных выше теорем.
.
Доказанные теоремы позволяют решать многие задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.
6. Пример на применение доказанных теорем
Пример 1
Дан прямоугольный треугольник ( – высота. 
. Найти 
(см. Рис. 6).
Решение:
Рис. 6
Найдём длину гипотенузы: 
. Далее воспользуемся доказанными теоремами:
Ответ: 
.
На этом уроке мы рассмотрели пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках и их применение при решении задач. На следующем уроке мы рассмотрим практические приложения подобия треугольников.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Oldskola1.narod.ru (Источник).
Домашнее задание
- № 135(а), 136(а), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- В прямоугольном треугольнике
() проведена высота 
. Найдите: а) , если 
; б) 
, если 
см, 
. - Найдите периметр прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки длиной
и 
.
