Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .

Градусная мера дуги соответствует градусной мере центрального угла:

Из рассмотренной теоремы имеем важное следствие.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 5).

Угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Рис. 5

Итак, мы имеем бесчисленное множество треугольников, имеющих одинаковый угол и равную сторону, ему противолежащую, то есть они имеют одинаковый радиус описанной окружности.

Рассмотрим точку К на окружности и треугольник (см. Рис. 6). Очевидно, что он имеет такой же радиус описанной окружности, что и треугольник и такую же сторону а, но каков его угол ?

Треугольников со стороной а и углом, ей противолежащим, , также бесчисленное множество.

Рис. 6

Существует также другая формула для нахождения радиуса описанной окружности:

Перейдем к окружности, вписанной в треугольник. Каждый треугольник имеет единственную вписанную окружность. Вся теория вписанной окружности базируется на свойстве биссектрисы угла.

Теорема

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла (см. Рис. 7).

Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Доказать, что расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны: .

Рис. 7

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Теорема

Биссектрисы АА₁, ВВ₁, СС₁ треугольника пересекаются в одной точке О – центре вписанной окружности.

Точка О – пересечение биссектрис треугольника, значит, она равноудалена от сторон трех углов – от трех сторон треугольника: .

Рис. 8

Для расчета радиуса вписанной окружности используют следующую формулу:

Еще одна важная геометрическая особенность – отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: ; ;

Определим связь между сторонами треугольника и касательными.

Согласно стандартным обозначениям: , ,