01. Координаты вектора
21 мин
02. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах
20 мин
03. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
14 мин
04. Простейшие задачи в координатах
21 мин
05. Применение метода координат в решении простейших задач
20 мин
06. Применение метода координат в решении задач
23 мин
07. Уравнение окружности
18 мин
08. Решение задач по теме «Уравнение окружности»
1 ч 13 мин
09. Уравнение прямой
56 мин
10. Решение задач по теме «Уравнение прямой»
28 мин
11. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой»
24 мин
12. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой». Более сложные случаи
17 мин
Видео доступно по абонементу
Ранее для выполнения действий с векторами мы применяли правило треугольника, правило параллелограмма, сжимали или растягивали вектор. Теперь мы научимся выполнять действия над векторами в координатах.
Пример
Даны векторы,,.
Найти:
Решение
Из произвольной точки 0 строим вектор. Далее из конца вектора строим вектор, он сонаправлен вектору, а длина в два раза больше. Теперь из конца вектора строим вектор, он противоположно направлен вектору, а длина в 4 раза больше. Теперь соединяем точку 0 и конец вектора – получен ответ, вектор.
Пусть заданы два неколлинеарных вектора. Будучи отложены из одной точки, они задают косоугольную систему координат.
Любой третий вектор однозначно выражается через векторы,:
Пара чисел
однозначно задает вектор – это и есть его координаты:.
Теорема
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Дано:; .
Доказать:
.
Доказательство
В системе координат относительно векторов, имеем:
;
Тогда сумма:
Что и требовалось доказать:.
Теорема
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.
Дано:.
Доказать:.
Доказательство
В системе координат относительно векторов, имеем:
Умножим обе части равенства на число:
Что и требовалось доказать:
.
Рассмотрим разность векторов.
Дано:;.
Координаты вектора определяем как координаты вектора, умноженного на число:
Тогда разность векторов:
Пример
Доказать, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Решение
Дано:;,.
Доказать:;.
По определению коллинеарных векторов векторы и лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В таком случае вектор можно получить из вектора умножением на некоторое число:
по условию;
по правилу умножения вектора на число.
Равные векторы имеют равные координаты, отсюда:
;
Что и требовалось доказать.
Пример
;;;
Найти попарно коллинеарные векторы.
Решение
Очевидно, что нужно искать пропорциональные координаты. Рассмотрим первый и третий векторы:
Получено верное равенство, следовательно, векторы коллинеарны:.
Рассмотрим второй и четвертый векторы:
Также получено истинное выражение, а значит, векторы коллинеарны:.
Ответ:;.
Итак, мы научились складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число в координатах.
Список литературы
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)
2. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Вектор с началом в точке имеет координаты. Найдите сумму координат точки B.
2. Заданы векторы и. Найти координаты вектора.
3. Даны векторы и
. Найти векторы;.
4.Даны векторы, и. Найти и
"