01. Теорема о площади треугольника. Формулы для нахождения площадей параллелограмма и треугольника

На этом уроке мы выведем формулу площади треугольника через синус его угла.

Сформулируем, проанализируем и докажем теорему о площади треугольника.

Теорема звучит так:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем данную теорему в стандартных для треугольника обозначениях.

Формула площади треугольника (рис. 1) имеет такой вид:

Докажем данную теорему.

Дано:  (рис. 2)

Доказать:

Доказательство:

Любой треугольник имеет не менее двух острых углов, так как сумма углов треугольника равна градусов. Пусть острыми являются угол  и угол . Тогда высота  находится внутри треугольника , потому что иначе сумма углов в треугольнике  (рис. 2) превышала бы градусов (угол  прямой, так как – высота; а угол при вершине тупой, так как угол (по условию).

Получили два прямоугольных треугольника общим катетом . Для нахождения данного катета мы используем свойство сторон и углов прямоугольного треугольника: гипотенузу умножаем на синус противолежащего угла:

Подставим данное значение в формулу площади треугольника:

Получаем:

Мы доказали две формулы из трёх через острые углы и . Если угол острый, доказательство будет аналогичное. Если угол будет прямым, доказательство очевидное (). При высота находится вне треугольника (рис. 3).

Рассмотрим треугольник . В нём угол . Чтобы найти катет , нужно гипотенузу умножить на синус противолежащего угла:

Подставляем в формулу для площади треугольника () значение катета :

Мы доказали и третью формулу. Следовательно, доказали теорему.

Также эту теорему можно доказать координатным методом (рис. 4).

Дано: треугольник , ,

Доказать:

Координаты вершины определяются через длину и угол . В предыдущих уроках мы выяснили, что координаты точки будут . А – это высота , то есть ордината точки .

Подставляем в формулу площади треугольника:

Формула доказана независимо от величины углов треугольника – за начало координат была взята точка . Остальные формулы получаются аналогично, если за начало координат взять точку или .

Полученные формулы можно использовать во многих задачах.

Дано: треугольник , см, см, (рис. 5)

Найти: площадь треугольника

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся ранее доказанной теоремой.

Подставляем известные значения:

Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма. Диагональ рассекает параллелограмм на два треугольника.  (рис. 6) по трём равным сторонам (противоположные стороны в параллелограмме равны, следовательно, , . Сторона – общая для двух треугольников.). Отсюда следует, что площади этих двух треугольников тоже равны.

Площадь параллелограмма

Согласно теореме о площади треугольника

Значит, площадь параллелограмма равна

Можно рассмотреть и угол . Он равен , следовательно, . Поэтому площадь параллелограмма можно рассчитать через :

Формула для площади параллелограмма доказана.

Треугольники и параллелограмма . Доказать, что площади этих треугольников равны.

Доказательство:

Площади первого и второго треугольника есть произведение половины основания на высоту (рис. 7). Основание у них одинаковое (), высота, опущенное на это основание, также одинаковая, следовательно:

Дано: , см,

Найти: сторону (рис. 8)

Решение:

Найдём сторону через формулу площади треугольника

Подставляем известные величины:

 см

Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

Дано: – параллелограмм (рис. 9)

Доказать:

Доказательство: первый способ:

Учтём, что угол и угол имеют один и тот же синус:

Площадь треугольника (согласно теореме о площади треугольника):

Площадь треугольника : 

Так как синусы равны, то и . Учитывая, что , а , мы доказали, что диагонали параллелограмма делят его на равновеликих треугольника.

Поэтому для нахождения площади параллелограмма достаточно найти площадь одного из треугольников и умножить на .

Так как , а , то

Что и требовалось доказать.

Из точки диагонали проводим прямую , параллельную другой диагонали (). Получаем параллелограмм , треугольник равновелик треугольнику , так как

Основания и высота у них одинаковы.

Таким образом, отнимая от параллелограмма треугольник и прибавляя треугольник , получаем треугольник с такой же площадью, как у исходного параллелограмма. И площадь этого треугольника равна:

Так как и , то

Что и требовалось доказать.

Дано: , , , высота

Найти: площадь треугольника (рис. 11)

Решение:

Согласно теореме о площади треугольника

Выражаем и через и другие известные величины. является гипотенузой в прямоугольном треугольнике , поэтому:

, при  (рис. 11 а)

, при  (рис. 11 б)

Аналогично находим (). В обоих случаях:

Подставляем данные значения в формулу площади треугольника:

На данном уроке мы доказали теорему о площади треугольника через синус его угла и решили задачи по данной теме.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. 2mb.ru

2. Festival.1september.ru

Домашнее задание

1. В треугольнике см, см, , . Найдите площадь треугольника. 

2. Для определения площади треугольника измерили две его стороны и и угол между ними . Вычислить площадь ( мм, мм, ).

3. Площадь треугольника равна . . Найдите сторону .