Уравнения. Решение задач с помощью уравнений

Введение

Для начала дадим краткое определение уравнению. Разберем, в каких областях математики оно встречается. Слово «уравнение» производное от слов «уравнивать», «равняться». Также оно является однокоренным со словом «равенство», которое нам уже встречались неоднократно. Приведем примеры равенств:

Важно вспомнить, что равенства бывают верные и неверные. Рассмотрим пример неверного равенства: . Отметим, что в левой и правой частях равенств, приведенных в примерах, написаны только числовые выражения. Мы знаем, что есть еще и буквенные выражения. Например, .

Возникает вопрос, откуда может взяться такое выражение и зачем приравнивать такое выражение к какому-нибудь числу (). В таком равенстве мы уже не можем проверить, верное оно или нет. Давайте разберем на примере, откуда такое равенство может взяться, зачем нам оно нужно и что за  в нем стоит.

Решение задач

Дано: нам нужно взвесить арбуз. Мы знаем, что если на одну чашу весов положить арбуз и гирю массой  килограмма, а на другую гирю массой  килограммов, то весы уравновесятся. Найдите массу арбуза.

Путем нехитрых вычислений мы определяем, что масса арбуза  кг. Может возникнуть вопрос, почему мы взвешивали арбуз именно так, ведь можно было просто уравновесить весы, поставив на другую чашу гирю массой  кг. Ответ простой, ведь может быть и так, что в нашем распоряжении есть только гири по  и  кг.

Давайте попробуем решить данную задачу через составление уравнения.

Решение: пусть  – вес арбуза, тогда на чаше весов с арбузом будет вес . По условию мы знаем, что на противоположной чаше находится  кг и весы уравновешены. Можем составить уравнение.

Ответ:  кг.

Теперь становится понятно, в каком случае мы можем вводить в равенства переменные.

Уравнением называется равенство двух выражений, в которых есть буквенная переменная.

Выходит, что уравнения нужны для того, чтобы находить значение буквенной переменной, которая обращает уравнение в верное равенство. Это приводит нас к определению того, что же означает решить уравнение.

Решить уравнение – значит найти все значения буквенной переменной, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство (или доказать, что таких значений нет).

Важно отметить, что уравнение может иметь больше одного решения, но с такими уравнениями мы познакомимся позже. В некоторых уравнениях вам может встретиться несколько переменных, но решить такое уравнение вам пока будет сложно, так как найти все возможные корни достаточно затруднительно. Пример такого уравнения: .

Можно сказать, что уравнение чаще всего составляют при решении каких-то практических задач. Таким образом, составив уравнение, мы можем решить его и найти неизвестную величину.

Решение уравнений путем переноса слагаемых

Иногда уравнение можно решить подбором, но легче всего пользоваться несколькими правилами, которые упростят для вас вычисления. Разберемся с ними на примере.

Дано: через  лет Коле исполнится . Сколько лет Коле в данный момент?

Решение: пусть  – возраст Коли (на данный момент в годах), тогда через  лет ему будет . Из условия задачи известно, что ему через  лет будет  год. Составим и решим уравнение: .

Стоит отметить, что уравнение не меняется, если применить любое действия к обеим его частям. В данном случае отнимем с каждой стороны по : .

Ответ: Коле сейчас  лет.

Действие, которое мы применили для решения уравнения, называется переносом слагаемого из одной части уравнения в другую. Важно помнить, что при переносе выражения знак перед ним меняется на противоположный.

Рассмотрим еще один пример: . В этом уравнении нам нужно перенести тройку. Чтобы избавиться от нее в левой части уравнения, нужно прибавить три, соответственно, и к правой части прибавляем тройку:

Решим еще одну задачу.

Дано: Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила , после чего из суммы вычла задуманное число. Далее к полученному числу она прибавила  и в итоге получила . Какое число задумала Ксения?

Решение: пусть  – число, которое задумала Ксения, тогда мы можем составить уравнение с учетом преобразований задуманного числа.

Потренируем перенос, начнем с восьмерки:

В итоге мы пришли к верному числовому равенству, значит, оно верное для любого икса. Можно сделать вывод, что, какое бы число ни задумала Ксения, у нее все равно выйдет одиннадцать.

Ответ: Ксения могла задумать любое число.

Рассмотрим подобную задачу и решим ее составив уравнение.

Дано: Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему , вычел из него , вычел задуманное число и получил . Какое число задумал Дмитрий?

Решение: пусть  – задуманное Дмитрием число, тогда можем составить уравнение.

В итоге мы получили неверное равенство, и это приводит нас к заключению, что решений это уравнение не имеет.

Значит, в условии задачи ошибка и  получить в результате указанных действий Дмитрий не мог.

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием уравнения. Выяснили, что значит решить уравнение, познакомились с методами решения уравнений. Также мы выяснили, для чего нужны уравнения и как решать с их помощью задачи.

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2013.- 280с.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013. - 128 с.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана - Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. School-assistant.ru (Источник).            
2. Mat-zadachi.ru (Источник).      
3. Uroki.tv (Источник).     

 

Домашнее задание

1) Решите уравнения.

1.

2. 

3.          

4.

2) На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой  кг, а на левой чашке – гиря массой  кг. Какова масса дыни?

3) Составьте и решите уравнение:

1. Сумма удвоенного числа  и числа  равна .

2. Разность чисел  и  в  раза меньше числа .

3. Частное суммы чисел  и  и числа  равно .

4. Сумма чисел  и  в  раза больше числа .

5. Частное разности чисел  и  и числа  равно .

6. Утроенная разность чисел  и  равна .