Прямое и обратное действие
В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.
В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.
Как устроено сложение? Добавили к 3 яблокам 2 яблока, получили 5 яблок, получилось сложение (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация сложения
Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).
Рис. 2. Вычитание
Ясно, что добавить и отнять – это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание – это взаимопротивоположные действия.
Вычитание
Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.
Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.
А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.
И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.
Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: 
. Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 – это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).
Как из 15 вычесть 7?
Мы сразу представляем, что 
. Значит, после вычитания 7 останется 8.
Становится понятно, что вычитание – это нахождение неизвестного числа разложения.
Еще раз рассмотрим пример. 
Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых 
и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания 
.
Определение вычитания
Если из числа 
нужно вычесть число 
:
Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и 
.
Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.
Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.
Или еще вот такое рассуждение: вычесть – значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.
Но пока договоренность следующая: из числа вычитаем число , только если не меньше, чем . Результатом будет новое число .
- Число , от которого мы будем отнимать, которое мы будем уменьшать, называют «уменьшаемое».
- Число , количество, которое мы будем отнимать, вычитать, называется «вычитаемое».
- Число , результат вычитания, называется разностью.
- Сама запись
тоже называется разностью (рис. 3).
Рис. 3. Названия компонентов при вычитании
Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 – это и есть разница между ними.
Таким образом, с одной стороны разность – это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны – это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.
Задачи на вычитание. Пример 1
Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?
Из 36 вычитаем 2.
Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа и .
Пример 2
В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?
Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков – неизвестное количество.
Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого – это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.
В классе 11 мальчиков.
Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.
Синим цветом выделены известные и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого – это и есть вычитание.
Пример 3
Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?
Нужно узнать разницу, а значит нужно вычитать. Итак, вычитаем из 12 число 9.
Сестра старше брата на 3 года.
Это третий тип задач – задачи на сравнение.
Задача 1
В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?
Решение
1 способ
Петя взял 4, Маша – 3, всего они взяли 
яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:
Если записать в одну строчку:
2 способ
Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось 
. Маша взяла еще 3, осталось 
.
Или, в одну строчку, 
.
В вазе осталось 10 яблок.
Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму – это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.
Правило вычитания
Если необходимо вычесть сумму, то можно сначала вычислить сумму в скобках, после этого произвести вычитание. Либо можно вычесть каждое слагаемое по отдельности:
Пример 4
1 способ
Можно сделать сначала действия в скобках и потом из 79 вычесть результат.
2 способ
Мы видим, что 79 и 19 оканчиваются на одну цифру, на 9. Значит, удобнее вычесть из 79 первое число,19, а затем второе число 24.
Правило
Вычитание и сложение – равноправные действия.
Пусть есть ваза с яблоками. Мама туда добавила 3 яблока, а папа взял 4. Изменится ли итоговое количество яблок, если они сделают это в другой последовательности – сначала папа возьмет 4, а потом мама добавит 3?
Нет, конечно, результат будет одинаков. То есть если к числу что-то прибавляется и вычитается, то эти действия можно менять местами. Главное – помнить, что мы не можем от меньшего отнять большее.
Пример 5
Здесь удобно сначала из 79 вычесть 19. Для этого меняем местами действия сложения и вычитания.
Имеет ли смысл переставлять местами слагаемые? Нет.
Здесь явно удобнее вычесть третье слагаемое из первого.
Заключение
Список литературы
- Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. – 2-е изд., перераб. – М.: 2011; Ч. 1 – 176 с, Ч. 2 – 240 с.
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – 14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013. – 270 с.
- Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Математика. 5 класс. Учебник. – 14-е изд. – М.: 2015. – 272 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Infourok.ru (Источник).
Домашнее задание
Вычислите удобным способом:
