Введение
Сумму целого числа и обыкновенной правильной дроби для краткости часто записывают без знака плюс и называют смешанным числом, имея в виду, что в этой записи есть и целая и дробная части: 
.
Если дробь неправильная (числитель больше и равен знаменателю), то сначала выделяют целую часть, а потом записывают в виде смешанного числа: 
.
Сложение и вычитание смешанных чисел
Тогда вопрос сложения или вычитания смешанных чисел сводится к сложению или вычитанию целых чисел и обыкновенных дробей:
Но все это мы уже умеем делать. Поэтому никаких новых правил нам изучать не нужно.
Примеры со сложением
1) Сумма целого числа и дроби: 
.
Здесь мы просто пользуемся определением смешанного числа. Сумму записываем кратко, без знака плюс: 
.
2) Сумма целого и смешанного чисел: 
.
Распишем подробнее смешанное число. Сложим целые слагаемые, снова запишем сумму кратко в виде смешанного числа: 
.
Для краткости записи можно не расписывать смешанное число как сумму, а сразу складывать целые числа: 
.
3) Сумма смешанного числа и дроби: 
.
Распишем смешанное число как сумму. Сложим дроби, запишем сумму кратко как смешанное число: 
.
Необязательно расписывать смешанное число. Сразу сложим дроби: 
.
4) Сумма двух смешанных чисел.
Распишем каждое смешанное число. Сложим отдельно целые числа и отдельно дроби. Запишем сумму в виде смешанной дроби: 
.
В этой сумме распишем каждое смешанное число. Сложим целые числа и дроби. Полученная дробь оказалась неправильной. Вынесем целую часть. Сложим целое и смешанное числа: 
Запись будет короче, если не расписывать смешанные числа: 
.
Итак, чтобы складывать целые, дробные и смешанные числа, удобнее всего складывать целые с целыми, а дробные с дробными числами.
Примеры с вычитанием
1) Разность целого и дробного чисел.
Представим единицу в виде дроби 
. Вычтем из одной дроби другую: 
.
- ·
Мы уже умеем вычитать из единицы правильную дробь. Распишем 5 как 
и 
. Вычитаем из единицы дробь, записываем ответ в виде смешанного числа: 
.
Постараемся выполнить вычитание, не расписывая целое число: 
.
2) Разность целого и смешанного чисел.
Распишем смешанное число. Так как минус перед ним относится ко всем числу (и к целой и дробной части), то 
.
Попробуем выполнить действия, не расписывая смешанное число. Вычтем сначала целую часть. Осталось вычесть дробь: 
.
3) Разность смешанных чисел.
Вычтем отдельно целые части, отдельно дробные: 
.
- ·
Сначала вычтем целые части. Мы не можем вычесть сразу из первой дробной части вторую, так как вторая больше первой. Вычтем тогда, то, что можем, 
. Осталось вычесть из целого числа дробное. Мы это уже делали:
Случаи при вычитании смешанных чисел
Итак, при вычитании из одного смешанного числа другого смешанного числа могут встретиться два случая.
- Первая дробная часть больше или равна второй. Тогда из целой части вычитаем целую, из дробной – дробную:
.
Первая дробная часть меньше второй. Тогда из целой части вычитаем целую. Из дробной части вычитаем столько, сколько сможем (то есть первую дробную часть). И в конце вычитаем из целого числа остаток дробной части: 
.
Алгоритм
Если нужно сложить или вычесть целые числа, дроби и смешанные числа, то удобнее всего поступить так.
- Выполнить действие с целыми числами.
- Выполнить действия с дробными частями.
Если сразу не удается вычесть из первой дробной части вторую, то делаем это в два этапа.
Примеры. Обобщение
Заключение
Чтобы закрепить навыки, обязательно выполните примеры в тренажерах к этому уроку. Чтобы научиться ездить на велосипеде, не так важно смотреть, как ездят другие, а необходимо пробовать это делать самостоятельно.
Список рекомендованной литературы
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. М: Мнемозина, 2013.
- Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013.
- Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. М.: Вентана – Граф, 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Вычислите:
; 
; 
. - Вычислите:
; 
; 
. - Вычислите:
.
