Введение
Увидев очень высокого человека, мы можем предположить, что он баскетболист. Глядя на очень большой камень, мы поймем, что нам не удастся его поднять, он слишком тяжелый. Глядя на число 
, мы понимаем, что оно делится на 
.
Во всех этих примерах мы не проверяли, а делали вывод на основе внешних признаков.
Причем в первых двух случаях мы могли ошибиться, но про число мы знаем точно. Последняя цифра делится на , значит, и все число делится. Просто в математике есть точные признаки делимости на разные числа. Легко понять, что 
делится на или что 
делится на 
.
Но, оказывается, можно быстро понять, делится ли на 
числа: 
и 
. Первое делится, а второе – нет. Просто сумма цифр первого числа делится на , а у второго – нет. Это и указывает, делится ли само число на .
Признаки делимости на разные числа устроены по-разному, но есть похожие, одного типа.
Сегодня мы начнем с признаков делимости на 
и . Они устроены одинаково – смотрим на последнюю цифру и понимаем, делится число или нет.
Признаки делимости
Начнем с самого главного вопроса: что значит «одно число делится на другое»? Например, что значит, что число 
делится на 
? Это означает, что число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, и одно из них будет : 
.
содержит еще и множитель , это означает, что делится и на тоже.
Тот факт, что 
делится на 
(
), мы можем представить так, что содержит множитель : 
.
Второй множитель 
, это результат деления на .
Основная теорема арифметики
Разложим на множители 
. Получили эквивалентную запись числа 
.
Видим, что число 
также раскладывается на множители, получим ещё одну эквивалентную запись: 
.
Продолжим до тех пор, пока можем раскладывать на множители: 
.
Полученные числа разложить на множители уже не получается: они не делятся ни на одно число, кроме 
и себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа (например, , , ) называются составными. считается единственным числом, которое не является ни простым, ни составным.
Понятно, что, используя наш алгоритм (представляя любой составной множитель в виде произведения), для любого числа рано или поздно можно получить его эквивалентное представление в виде произведения простых множителей.
Но мы могли пойти по-другому пути: 
.
Как видим, получилось то же эквивалентное представление (с точностью до порядка). Всегда ли так будет? Оказывается, да. Можно доказать, что любое число единственным образом представляется в виде произведения простых множителей. Этот результат называется основной теоремой арифметики.
Получается, что, как бы мы ни раскладывали число на простые множители, в итоге мы получим одно и то же разложение (с точностью до порядка).
Деление нуля и деление на нуль
Когда 
делится на 
? Тогда и только тогда, когда содержит как сомножитель.
Например, 
можно записать в виде 
и оно делится на каждый свой сомножитель.
Представим 
в виде произведения: 
. Ноль содержит сомножителем любое число. Любое! 
следовательно, ноль делится на любое число.
Противоположный вопрос: что с делением на ? Получится ли какое-то число поделить на ?
Если бы некоторое число можно было поделить на , то был бы какой-то ответ 
. Но тогда, вспомнив о том, что деление – операция, обратная умножению, можно записать, что 
Получаем, что 
, но ведь было выбрано произвольно. Таким образом, мы пришли к противоречию. То есть определить деление на согласованно с определением умножения не получается.
На самом деле без деления на ноль можно обойтись, поэтому данная операция нам не нужна.
Таким образом, ноль можно делить на любое число, не равное нулю, и получать ноль. При этом никакое число на ноль делить нельзя.
Делимость чисел, оканчивающихся на 0
Теперь рассмотрим числа, которые оканчиваются нулем. Если число оканчивается нулем, то в его разложение на множители входит множитель .
Например, 
. Мы знаем, что мы можем представить как 
, тогда 
. Мы получили, что «в разложении содержится множитель » и «в разложении содержатся множители и » эквивалентны. Таким образом, можем утверждать, что если число оканчивается нулем, то оно делится на , на и на .
Делимость суммы
Рассмотрим два равенства:
В первом равенстве слагаемое 
делится на 
, слагаемое не делится на – и сумма 
не делится на .
Во втором равенстве слагаемые и делятся на – и сумма 
также делится на .
Таким образом, мы получаем правило: если каждое из слагаемых делится на заданное число, то и сумма тоже делится на это число.
Если одно из слагаемых делится на заданное число, а второе – нет, то сумма не делится на это число.
Общий признак делимости суммы
На самом деле правило даже интереснее.
1) Если у нас много слагаемых и все делятся на одно число, то и сумма делится:
Пример: 
делится на .
2) Если все слагаемые делятся, а одно – нет, то и сумма не делится:
Пример: 
не делится на .
3) Если не делятся два или больше слагаемых, то результат может быть различным:
Пример: 
В обоих примерах два слагаемых не делятся на . Но сама сумма в первом случае делится, а во втором нет.
То есть если два или больше слагаемых не делятся на одно и то же число, то сумма может делиться на это число, а может и нет.
Пример
Возьмем очень большое число, например, 
.
Постараемся определить, на какие числа оно делится.
Представим наше число в виде суммы:
Первое слагаемое оканчивается нулем, а значит, оно делится на , на и на .
Второе слагаемое 
не делится на (а первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма не делится на .
Второе слагаемое не делится на (а первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма не делится на .
Второе слагаемое делится на (и первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма делится на 2.
Теорема (признак делимости на 2, 5 и 10)
Итак, вот основной итог нашего урока, теорема: число делится на , на или , тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на , на или на соответственно.
Доказательство: пусть задано число 
. Представим его в виде суммы двух слагаемых: 
.
Слагаемое 
оканчивается нулем, а значит, делится на , на , на . Но тогда делимость на , и всей суммы зависит от второго слагаемого, которое является последней цифрой нашего числа.
Таким образом, если последняя цифра числа делится на , или , то и все число делится на , или соответственно.
Теорема доказана.
Примеры
Определить, делится ли число на 
1) 
Так как число оканчивается нулем, то оно делится на , и .
2) 12687
Данное число оканчивается 
. не делится ни на , ни на , ни на , а значит, и число 
на них не делится.
3) 
Данное число оканчивается . делится на , но не делится на , ни на , значит, число делится на , но не делится на и на .
4) 
Последняя цифра . делится на , но не делится на и , значит, делится на , но не делится на и .
5) 
Число оканчивается нулем, а значит, оно делится на , и .
Заключение
Обратите внимание: по последней цифре мы можем судить только о делимости на 
на и на . Для делимости на другие числа нельзя использовать этот признак.
Например, число 
не делится на , хотя последняя цифра числа на делится.
Или не делится , хотя последняя цифра числа на делится.
Список рекомендованной литературы
- Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с.: илл.
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина.
- Истомина И.Б. Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 9-10 чит., ст. 10 № 32, ст. 11 № 36.
- Назовите признаки делимости чисел на 2, на 5 и на 10.
- Среди приведенных чисел, укажите те, что делятся и на 2, и на 5, и на 10.
а) 13 в) 129 д) 720 е) 12398050
б) 100 г) 130 э) 945 ё) 53846030
- *Дайте ответы на вопросы:
а) Какое наименьшее пятизначное число кратно пяти?
б) Какое наибольшее трёхзначное число кратно двум?
в) Укажите семь чисел, которые делятся на десять.
