Введение
Признак позволяет нам по первому взгляду понять что-то про объект.
Есть пословица: «Дыма без огня не бывает». То есть дым – это признак огня. На самом деле этот признак не всегда работает. Что-то может тлеть и дымить, а огня не будет.
В математике признаки действуют всегда. К таким относятся признаки делимости.
Мы уже знаем признак делимости на 2, 5 и 10.
Это признак по последней цифре. Если последняя цифра делится на это число, то и все число тоже делится.
756 делится на 2, не делится на 5 и 10.
На этом уроке мы рассмотрим делимость на 3 и на 9.
Признак делимости на 3 и на 9
18 делится на 9, 81 тоже делится.
27 делится на 9, 72 тоже делится.
45 делится на 3, 54 тоже делится на 3.
Похоже, не важно в каком порядке идут цифры.
Можете сами проверить: если в числах, которые делятся на 3 или 9, переставлять местами цифры, новые числа снова будут делиться.
Дело в том, что все зависит от суммы цифр, а не от порядка, в котором они идут.
Признак делимости на 3 и на 9 звучит так:
Если сумма цифр числа делится на 9 или на 3, то и само число тоже делится на 3 или на 9.
Понятно, что если переставить цифры местами, то сумма цифр не изменится.
Выясним, как получается этот признак.
Признак делимости на 3
Как увидеть, что число 72 делится на 3?
Например, так:
. 60 делится на 3 и 12 делится на 3, значит, и все число делится на 3.
Это правило очень полезное, и мы его часто используем.
Если в сумме оба слагаемых делятся на некое число, то вся сумма делится на это число.
Если одно делится, а другое нет, то и вся сумма не делится.
Вернемся к числу 72.
Разложение на 60 и 12 удобно, но не дает нам общего правила, алгоритма, как действовать с другими числами.
Вспомним, что обозначает десятичная запись числа.
Первое слагаемое
делится на 3.
тоже делится на 3. Но это и есть сумма цифр. Если бы она не делилась, то и все число не делилось бы.
Например, разделим число 73 на 3.
И этот алгоритм можно применить к любому числу.
Задача 1
Возьмем число побольше, 2382, и попробуем понять, делится ли оно на 3 и на 9.
Шаг первый
Вспомним, что означает десятичная запись числа, и запишем число в эквивалентной форме:
Распишем каждое разрядное число:
Раскроем скобки:
Сгруппируем слагаемые:
Получили две суммы.
Шаг второй
Используем свойство делимости суммы: если оба слагаемых делятся, то сумма делится, если одно делится, другое нет, то сумма не делится.
У нас в первых скобках каждое слагаемое делится на 3 и на 9, значит, и вся сумма делится на 3 и на 9.
Таким образом, делимость всего нашего числа зависит теперь от последней суммы. Если она делится на 3 или 9, то и все число делится, если нет, то и все число нет.
Но во вторых скобках и есть сумма цифр исходного числа.
То есть число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или на 9.
Проверим делимость в нашем случае:
делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: 2382 делится на 3, но не делится на 9.
Есть удобный инструмент – теория сравнений.
С помощью него объяснение признака делимости на 3 и на 9 очень короткое. О нем рассказывается в конце урока.
Задание
Потренируемся.
Самостоятельно определите, делится ли число на 3 и на 9.
1. 487 932
2. 7 549 358
3. 723 644 118 765
Проверяем:
1. 487 932
, значит, число делится на 3.
, значит, число не делится на 9.
2. 7 549 358
, значит, число не делится на 3.
, значит, число не делится на 9.
3. 723 644 118 765
Не обязательно складывать все цифры. Можно упростить себе задачу. Если какая-то часть в сумме уже делится, то ее можно откинуть и больше не учитывать.
Число делится на 9 и на 3.
Применение нескольких признаков деления
Посмотрим на применение сразу двух признаков: по последней цифре и по сумме цифр.
1. Делится ли число 12 348 на 6?
Чтобы делиться на 6, нужно делиться на 2 и на 3.
Число делится на 2, так как последняя цифра делится: 
.
Число делится на 3, так как сумма цифр делится на 3: 
.
Так как исходное число делится и на 2, и на 3, значит, оно делится и на 6.
2. Делится ли число 4525 на 15?
Число делится на 5, последняя цифра делится на 5: 
делится,
– не делится.
Число не делится на 3, значит, не делится и на 15.
Этот метод не получится применить, если мы проверяем делимость на число, где есть повторяющиеся множители.
Пример 1
Делится ли 102 на 4?
102 делится на каждый простой множитель 4-х, на 2 и на 2, но на 4 все-таки нет.
Нельзя применять признак делимости несколько раз, если делитель разложен на одинаковые множители.
То есть если множители внутри числа не повторяются:
или 
, то можно использовать два признака по очереди. Если повторяются, например или 
, то нельзя.
Вопросы
Самостоятельно ответьте на следующие вопросы.
Если мы знаем, делится или нет число на 9, нужно ли проверять, делится на 3 или нет?
Наоборот, если мы знаем, что число делится или не делится на 3, что можно сказать про делимость на 9?
Теория сравнений и признак делимости на 3 и 9
Выбираем число, например 3. Будем называть его модулем.
Два числа считаем одинаковыми, если они дают одинаковый остаток при делении на 3.
Например, 
, 
Такие числа будем называть сравнимыми по модулю 3.
, 
, 
Очевидно, все разрядные числа сравнимы с единицей по модулям 3 и 9.
, 
,
,
, 
,
,
Доказательство признака делимости на 3 и на 9
Рассмотрим число.
Все разрядные числа можно заменить на единицы, если сравнивать по модулям 3 и 9.
То есть любое число и число, полученное как сумма его цифр, сравнимы по модулям 3 и 9. Значит, они делятся или не делятся на них одновременно.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт "Математика онлайн" (Источник)
2. Интернет-сайт "Школьный помощник" (Источник)
3. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 64
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 86
3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 92
