Введение
Мы часто находим часть от числа или наоборот, вычисляем число по его части:
Например:
Сколько будет 
от 5 км? Понятно, что полпути – это 2,5 км (см. Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Или наоборот:
Треть арбуза весит 4 кг, сколько весит весь арбуз? Чтобы 
была 4 кг, весь арбуз должен весить 12 кг (см. Рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
Все вычисления нам тоже уже знакомы в таких задачах – это умножение и деление целых чисел и дробей.
Сейчас мы разберем, какие задачи на эту тему бывают и каков их общий метод решения, алгоритм.
Когда мы рассматриваем дробь (часть) от какого-то количества, то мы видим три величины:
- Исходное количество. Обозначим его
- Дробь, часть, проценты. Обозначим эту дробь
. - Дробная часть исходного количества. Обозначим это количество
.
Например:
– количество минут в одном часе.- Дробь –
. 
– количество минут в одной трети часа.
Все эти три величины связаны одним равенством:
Или в общем виде:
Эта строчка 
описывает очень простой факт: Если некое количество умножить на дробь, то получим дробь от этого количества.
Этой записи достаточно, чтобы решить любую задачу по теме «дробь от числа», любую задачу на проценты.
То есть, у нас появляется алгоритм. Причем, очень простой алгоритм для решения задач на дроби от числа, на проценты.
Итак, у нас три величины, связанные равенством. Если известны две, то всегда можно найти третью. В зависимости от того, какая величина неизвестна, получаем три типа задач. На самом деле, различия очень невелики, алгоритм решения один и тот же.
Первый тип: неизвестно B
То есть мы знаем исходное количество и дробь. Нужно найти эту дробь от исходного числа.
Пример 1
Сколько будет 
часа?
Ответ: 12 минут.
Пример 2
Полуторалитровая бутылка наполнена на 
. Сколько там воды?
Ответ: 1,125 литра.
Пример 3
Если положить 20 000 рублей в банк под 13 % годовых, сколько денег будет на счету через год?
Банк за год добавит к исходной сумме 13 % от нее. Найдем эту добавку. Исходная сумма – 20 000. 1 % – это 
. 13 % – это 0,13.
То есть добавка – это 0,13 от 20 000. Найдем ее.
Мы нашли добавку. В задаче спрашивалось, сколько всего будет на счету.
Сложим исходную сумму и добавку
На самом деле, такую задачу решают не в два действия, а в одно.
Банк добавит 13 %. Значит, сколько процентов от исходной суммы будет через год? Исходная сумма – 100 % и еще 13 %. Итого 113 %. То есть нам нужно найти 113 % от исходной суммы.
Ответ: 22 600 рублей.
У кого вызвала затруднение работа с процентами, посмотрите урок на эту тему, перейдя по ссылке.
Второй тип: неизвестно A
Мы не знаем, какое было число изначально, но знаем, сколько получилось, когда от него взяли некую дробь. Нужно найти исходное.
То есть мы не знаем , но знаем и .
Тогда 
Пример 4
Дедушка своей жизни провел в деревне, что составило 63 года. Сколько лет дедушке?
Нам неизвестно исходное число – возраст. Но мы знаем долю и сколько лет эта доля составляет от возраста. Составляем равенство. Оно имеет вид уравнения с неизвестной . Выражаем и находим его.
Ответ: 84 года.
Не очень реалистичная задача. Вряд ли дедушка будет выдавать такую информацию о своих годах жизни.
А вот следующая ситуация очень распространена.
Пример 5
Скидка в магазине по карте 5 %. Покупатель получил скидку 30 рублей. Какова была стоимость покупки до скидки?
Мы не знаем изначального числа – стоимости покупки. Но знаем дробь (проценты, которые написаны на карте) и сколько составила скидка.
Составляем нашу стандартную строчку. Выражаем неизвестную величину и находим ее.
Ответ: 600 рублей.
Пример 6
Еще чаще мы сталкиваемся с такой задачей. Мы видим не величину скидки, а какая получилась стоимость после применения скидки. А вопрос тот же: сколько бы мы заплатили без скидки?
Пусть у нас опять 5%-я дисконтная карта. Мы показали на кассе карту и заплатили 1140 рублей. Какова стоимость без скидки?
Чтобы решить задачу в один прием, чуть переформулируем ее. Раз у нас 5%-я скидка, то сколько мы платим от полной цены? 95 %.
То есть нам неизвестна исходная стоимость, но мы знаем, что 95 % от нее составляет 1140 рублей.
Применяем алгоритм. Получаем начальную стоимость.
Ответ: 1200 рублей.
Третий тип: неизвестно q
Мы знаем, какое число было и какое получилось, но не знаем, какую часть взяли. Ее и надо найти.
Пример 7
Какую часть составляет 18 от 75? А сколько это процентов?
Алгоритм тот же самый – записать наше равенство. Главное – не перепутать, где изначальное число, а где полученное после взятия дроби.
Изначальное число – 75. А некая его неизвестная нам часть – это 18.
То есть 
от 75 равно 18.
Если ответ нужно дать в процентах, то нужно перевести в десятичную дробь.
То есть 18 – это 24 % от 75.
Ответ: 24 %.
Такие задачи часто могут встречаться в реальной жизни.
Пример 8
Например, как измерить соленость морской воды?
Очень просто. Возьмем килограмм морской воды. И выпарим ее всю. Останется сухая соль. Взвесим ее. Получилось, например, 52 г.
Что мы знаем?
Что изначальное количество 1 кг = 1000 г. Какую-то неизвестную нам долю составляет соль. Эта доля составляет 52 г. Найдем, какую долю в общей массе составляет соль.
Применяем наш алгоритм и находим .
Если бы мы взяли 2 кг воды и всю ее выпарили, то получили бы и соли в два раза больше. Доля не изменилась (увеличили числитель и знаменатель в два раза). То есть доля не зависит от количества воды, которое мы берем для исследования. Эта доля и называется соленостью воды.
Ответ: 5,2 %.
Заключение
Для решения всех задач на доли и проценты существует единый очень простой алгоритм.
1. Понять, что является начальным количеством, какую часть мы берем и размер этой части.
2. Записать основное равенство, связывающие три величины.
3. Выразить и найти неизвестную величину, решив уравнение.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)
2. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)
3. Интернет-сайт «Математика Онлайн» (Источник)
Домашнее задание
1. Математика. 6 класс/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. Стр. 104–105. п.18. № 680; № 683; № 783 (а, б)
2. Математика. 6 класс/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. № 656.
3. В программе спортивных школьных соревнований были прыжки в длину, прыжки в высоту и бег. В соревнованиях по бегу приняли участие 
всех участников соревнований, в прыжках в длину – 30 % всех участников, и в соревнованиях по прыжкам в высоту – оставшиеся 34 ученика. Найдите число участников соревнований.
