Классы
Предметы

Что такое степень с натуральным показателем (В.А. Тарасов)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Что такое степень с натуральным показателем (В.А. Тарасов)

На этом уроке мы начнем изучение степени с натуральным показателем. Вначале обсудим, зачем математикам понадобилось вводить понятие степени, дадим определение степени с натуральным показателем, рассмотрим ряд примеров на степень. Далее дадим определение степени с единичным показателем и в конце решим несколько примеров на вычисление степени.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Что такое степень с натуральным показателем

1. Обсуждение, зачем математикам понадобилась степень

Откуда появилась степень.

Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.

Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде а+а+а+а+а=5а.

То есть, если в выражении n одинаковых слагаемых, каждое из которых а, то его можно кратко записать na.  

А умножение , можно кратко записать так: а3, читается: а в кубе или третья степень числа а.

 – а в пятой степени или пятая степень числа а.

А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:

 = ann-ная степень числа а.

2. Определение степени

Определение. Степенью aназывается произведение n одинаковых сомножителей,  , где n- натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.

3. Терминология

Терминология: an

 а – основание степени,

n – показатель степени,

an– степень, или а в n-ой степени, или n-ая степень числа а.

4. Решение типовых задач на определение степени

Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

1. – это по определению 4 в кубе или третья степень числа 4, 4- основание степени, 3- показатель степени. Результат:

 

Ответ: 64

2. – по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.

Ответ

3.  

Это в пятой степени,  – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:

 

Значит, выражение .

Ответ: .

4. – это в кубе, 3 – это показатель степени, – основание степени.

Ответ

5.  

 – вторая степень числа 13 ,  – вторая степень числа 5.

Ответ: 4225

6.

 – третья степень числа 2,  – вторая степень числа 3.

Ответ: 72

5. Примеры на вычисление степени с различными показателями

В степени an может отдельно меняться показатель степени или основание степени.

Пример 2: Вычислить , если

a) n=2

b) n=3

c) n=4

Решение:

a)  так как стоит четная степень, минус пропадает.

b)

c) – так как стоит четная степень, минус пропадает.

Ответ: a) 25; b)-125; c)625;

В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.

6. Примеры на вычисление степени с различными основаниями

Пример 3: Вычислить: b4, где

a) b=1

b) b=-3

c) b=

d) b=

Ответ:

a)

b)

c)

7. Определение степени с показателем 1

Вспомним, что натуральные числа - это 1,2,3 и так далее.

n={1,2,3,…..}

По нашему определению:

an = ,                                (1)

n={2,3,…..}

Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а1?

a1=a                                                   (2)

8. Примеры степеней с показателем 1

Пример.

()1=)

(-2)1=-2

31=3.

Итак, теперь мы знаем, что такое an, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.

9. Геометрические задачи, в которых участвует степень

Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.

Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где

a) а=3 см

b) а=7 см

c) а=1,5 см

Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а2 или вторая степень числа а.

S=a2

Ответ:

S=32=9 см2

S=72=49 см2

S=1,52=2,25 см2

Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.

10. Задачи на вычисление

И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.

Вычислить:

a)   

Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.

b) Вычислить при а=1 следующее выражение:

а2=12=1

а3=13=1

При а=-1 будет чуть посложнее:

а2=(-1)2=1

а3=(-13)=-1

а4=(-1)4=1

и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.

11. Подведение итогов урока

Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аn, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьная математика (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

а)  

б) 

в)

2. Вычислить (-2)n, если

а) n=2 б) n=3 в) n=4

3. Вычислить: а5, где

а) а=1

б) а=-2

в) а=

4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где

а) а=6 см

б) а=8 дм

в) а=3 м