01. Что такое степень с натуральным показателем (В. А. Тарасов)

На этом уроке мы начнём изучение степени с натуральным показателем. Вначале обсудим, зачем математикам понадобилось вводить понятие степени, дадим определение степени с натуральным показателем, рассмотрим ряд примеров на степень. Далее дадим определение степени с единичным показателем и в конце решим несколько примеров на вычисление степени.

Обсуждение, зачем математикам понадобилась степень

Откуда появилась степень.

Выражение в математике можно заменить на .

Выражение можно представить в виде .

То есть, если в выражении одинаковых слагаемых, каждое из которых , то его можно кратко записать .

А умножение , можно кратко записать так: , читается: в кубе или третья степень числа .

– в пятой степени или пятая степень числа .

А если в выражение одинаковых сомножителей, каждый из которых , то мы будем писать:

– -ная степень числа .

Определение степени

Определение. Степенью  называется произведение одинаковых сомножителей,  , где - натуральное число ; – любое число.

Терминология

Терминология: 

 – основание степени,

– показатель степени,

– степень, или в -ой степени, или -ая степень числа .

Решение типовых задач на определение степени

Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

1. – это по определению в кубе или третья степень числа основание степени, показатель степени. Результат:

Ответ:

1. – по определению, это в четвертой степени, – основание степени, – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что нужно присвоить конкретное значение.

Ответ:

Это  в пятой степени, – это основание степени, – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:

Значит, выражение .

Ответ: .

1. – это  в кубе, – это показатель степени,– основание степени.

Ответ: 

 – вторая степень числа – вторая степень числа

Ответ:

– третья степень числа – вторая степень числа

Ответ:

Примеры на вычисление степени с различными показателями

В степени может отдельно меняться показатель степени или основание степени.

Пример 2: Вычислить , если

a)

b)

c)

Решение:

a)  так как стоит четная степень, минус пропадает.

b)

c) – так как стоит чётная степень, минус пропадает.

Ответ: a) ; b) ; c).

В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.

Примеры на вычисление степени с различными основаниями

Пример 3: Вычислить: , где

a)

b)

c)

d)

Ответ:

a)

b)

c)

d)

Определение степени с показателем 1

Вспомним, что натуральные числа - это и так далее.

По нашему определению:

, (1)

Нужно ещё одно определение для случая . Что же такое ?

, (2)

Примеры степеней с показателем 1

Пример.

;

;

.

Итак, теперь мы знаем, что такое , где – любое натуральное число.

Геометрические задачи, в которых участвует степень

Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.

Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна , где

a)

b)

c)

Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной , то его площадь равна или вторая степень числа .

Ответ:

Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.

Задачи на вычисление

И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.

Вычислить:

a)

Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.

b) Вычислить при следующее выражение:

При будет чуть посложнее:

и т. д. будет мерцать то то в зависимости от того чётный или нечётный показатель.

Подведение итогов урока

Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели основных определения (1) и (2), выучили терминологию , где – это показатель степени, – основание степени, – натуральное число, – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Школьная математика.

Проверь себя

1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

а)  

б)  

в)

2. Вычислить , если

а)

б)

в)

3. Вычислить: , где

а)

б)

в)

4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна , где

а)

б)

в)