Назад
views 900
calendar 25 апреля 2024

ЕГЭ по профильной математике: новое задание на векторы

ЕГЭ по профильной математике: новое задание на векторы
contents Оглавление
Свернутьarrow
Разбор нового задания про координаты вектора и решения вариантов ЕГЭ по математике 

В 2024 году в программе экзамена по математике профильного уровня всего одно изменение — в первой части добавили задачу № 2 на векторы. Новые задания можно условно разделить на две группы: сложение и координаты вектора.

Решения новой задачи на сложение векторов в ЕГЭ по математике мы уже подробно разобрали. И некоторые из вас уже справились с нашим тестом про сложение векторов. В этой статье просто и на примерах разберём вторую группу заданий и вместе решим задачи на координаты вектора в ЕГЭ по профильной математике. 

Шпаргалка к задачам на координаты вектора

Для начала вспомним базу. Рассмотрим прямоугольную систему координат и выберем на ней два неколлинеарных вектора, длина которых равна единичному отрезку данной системы координат. Такие векторы называют координатными. 

Профильный ЕГЭ по математике — как решить задание на координаты вектора

Важно также помнить, что любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициент разложения определяется единственным образом.

ЕГЭ по математике — решаем задание на координаты векторов

Координаты векторов в ЕГЭ по математике: готовимся сдать на максимальный балл

Особенности координат

Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектор. Координаты радиус-вектора равны координатам его конца. 

Профильный ЕГЭ по математике — задание на координаты

Правила нахождения координат

Для того чтобы найти координаты вектора, не нужно каждый раз строить равный ему вектор из начала координат. Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вычесть координаты начала.

Координаты вектора в профильном ЕГЭ по математике

Найти координаты суммы или разности векторов помогут простые правила:

  • каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов;

  • каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов;

  • каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Как найти координаты суммы векторов — тренируемся на примере задания из профильного ЕГЭ по математике

Положительный и отрицательный коэффициенты отношения

Отметим, что координаты коллинеарных векторов пропорциональны, причём если векторы сонаправлены, то коэффициент отношения положительный, а если противоположно направлены, то отрицательный. 

Профильный ЕГЭ по математике — решаем задание на сонаправленные и коллинеарные векторы

Длина вектора через координаты

Через координаты вектора можно также найти его длину.

Координаты вектора в ЕГЭ по математике

Скалярное произведение

Последним важным понятием, которое нам необходимо разобрать, является скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Скалярное произведение векторов в ЕГЭ по математике

Скалярное произведение можно также записать в координатах, это будет сумма произведений соответствующих координат.

Скалярное произведение координат в ЕГЭ по математике

Теперь приравняем скалярное произведение, выраженное через длины векторов и косинус угла между ними, и скалярное произведение, выраженное через координаты векторов: 

Решение задания на координаты вектора в ЕГЭ по математике

Таким образом, мы получили формулу, позволяющую найти угол между двумя векторами, когда известны их координаты. 

Решение профильного ЕГЭ по математике

Примеры решения новой задачи в ЕГЭ по математике

Теперь решим несколько задач, где применяется теория, которую мы только что рассмотрели.

Пример 1

Решение профильного ЕГЭ по математике —пример задания на координаты векторы

Решение

Не забываем, что х — это абсцисса, а у — ордината. 

Решение профильного ЕГЭ по математике

В ответе просят дать только абсциссу, значит, выписываем 2.

Ответ: 2.

Пример 2

Решаем ЕГЭ по математике профиль

Решение

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число. 

Пример решения ЕГЭ по математике — задание на координаты вектора

В ответе просят записать сумму координат, то есть х + у = 4 + 33 = 37.

Ответ: 37.

Пример 3

Решение профильного ЕГЭ по математике — пример

Решение

Решение задания на координаты векторов в ЕГЭ по математике

Ответ: 5.

Пример 4

Решение ЕГЭ по математике

Решение

Пример решения профильного ЕГЭ по математике

Ответ: 7,5.

Пример 5

ЕГЭ по математике — решение задание на координаты векторов

Решение

Решу ЕГЭ по математике

Ответ: 60.

Вроде бы не так уж и страшно. Но это пока мы решаем вместе, а теперь самое приятное: практика. Предлагаем закрепить новые знания в нашем тренажёре на решение новых задач на координаты вектора

Понимаем, самостоятельно разобраться в новой теме и подготовиться к ЕГЭ по профильной математике сложно. Но мучиться и необязательно. Можно сэкономить нервы, силы и время: быстрее разобраться вместе с профессиональными репетиторами. Например, с помощью экспертов нашей Домашней школы «ИнтернетУрок».

Курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
Мини-группы до 5 человек. Все ключевые предметы
Начни подготовку заранее!
Подробнее Оставить заявку
Шапка

Домашняя школа «ИнтернетУрок» Б. Гнездниковский, 1 стр.2, Москва, 125375 8 (800) 775 4121
Лого sitehere.ru