03. Арккосинус и решение уравнения cos t = a

Тема урока, введение

Мы знаем, что такое арккосинус, и теперь с его помощью сможем решить уравнение  при всех допустимых значениях , т.е. при .

Пример уравнения вида cost=a

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

, значит, уравнение имеет решение. Мы получим бесчисленное множество решений, т.к. функция периодична.

Задана абсцисса точки единичной окружности. Через эту точку проведем перпендикуляр к линии косинусов и получим две точки пересечения с окружностью - и (рис. 1).

Точке  соответствует множество действительных чисел , .

Точке  соответствует множество , .

, .

Проиллюстрируем на графике:

На промежутке  функция монотонно убывает, и  достигается только при одном значении аргумента . Функция  чётная, её график симметричен относительно оси , значит, вторая точка имеет абсциссу . С учетом периода , .

Ответ: , .

Решение уравнения cost=a в общем виде

Решим уравнение  в общем виде, при .

Решение:

Абсциссу  имеют две точки окружности – и  (рис. 3).

Они и только они проектируются на линию косинусов в точку с координатой . Каждой точке соответствует определенное множество действительных чисел.

, ;

, .

Ответ: , .

Частные случаи уравнения cost=a

Рассмотрим частные случаи тригонометрических уравнений вида .

1. .

Решим с помощью числовой окружности и проиллюстрируем на графике:

, .

А как получить решение с помощью общей формулы?

, , или , .

2. .

, .

3. .

, .

Решение уравнений

Пример 2. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на числовой окружности и на графике:

a) ;

b) .

Решение:

a) , .

Отметим точку  на оси . Проведём перпендикуляр, получим две точки пересечения с числовой окружностью: и . (рис. 7).

Проиллюстрируем решение на графике.

На промежутке  функция  монотонно убывает, значит, на данном промежутке есть только одно решение .

Косинус чётная функция, график симметричен относительно оси , значит, точка  тоже является решением.

Ответ: , .

b) , .

Абсциссу  имеют две точки – и . Им соответствует множество действительных чисел , .

Проиллюстрируем решение на графике.

, , где .

На отрезке  функция монотонно убывает и принимает значение  только  в одной точке .

Косинус – чётная функция, график симметричен относительно оси , значит, точка  также является решением уравнения.

Ответ: , .

Рассмотрим более сложное тригонометрическое уравнение.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

Осуществим замену переменной, обозначим , .

.

Теперь вернемся к старой переменной:

, .

Ответ: , .

Вывод, заключение

Мы научились решать уравнения вида  при любом допустимом . Мы использовали понятие арккосинуса. На следующем уроке мы познакомимся с понятием арксинуса.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 22.2 – 22.7.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).