02. Арккосинус и решение уравнения cos x = a

На уроке по теме «Арккосинус и решение уравнения » рассматривается понятие арккосинуса числа с примерами. Также решается уравнение вида .

На уроке рассматривается понятие функции арккосинус, как обратной для  функции косинус на отрезке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна и монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для неё на этом промежутке, она называется арккосинус.

Построим график функции  на отрезке  (рис. 1) и будем находить значения арккосинусов чисел по этому графику.

Пример 1. (рис. 1):

.

Пример 2. (рис. 1):

.

Определение:

Арккосинусом числа  называется такой угол  из промежутка , косинус которого равен

Свойство: для любого числа , выполняется равенство

.

Пример 3. Найти .

Решение:

1-й способ: по графику на рис. 1:

.

2-й способ: по свойству:

.

Пример 4. (рис. 1):

.

Построим единичную окружность и отметим на окружности точки спроектируем на ось абсцисс (рис. 2) и запишем соответствующие значения косинусов.

Примеры 5. (рис. 2):

;

.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение: на оси косинусов отложим  и проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью в точках  и  (рис. 3).

Объединяем эти решения одной формулой:

.

Ответ: .

В общем виде решение уравнения  при :

.

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от  до  Также было рассмотрено понятие арккосинуса числа и решено уравнения вида , при .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. – К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). – М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). – М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «‎mathematics.ru». 

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007. № 21.13, 21.17, 21.20(а).