02. Арккосинус

Тема урока, введение

На этом уроке мы познакомимся с понятием арккосинус и решим типовые задачи.

График функции y=cost, введение понятия арккосинуса

Рассмотрим график функции , .

Построим график по точкам. Отметим на оси абсцисс точки кратные :

, , , .

Отметим точки, кратные :

, , , .

Для всех этих аргументов нам известны значения функции, отметим их на оси ординат (рис. 1).

Почему был выбран именно промежуток ?

1. На этом промежутке функция пробегает все свои значения от  до .

2. На этом промежутке функция монотонно убывает. Если , то функция убывает, .

Мы задали функцию, а значит, есть две задачи – прямая и обратная.

Прямая задача: задаем значение , получаем значение .

Например: Если , то ; если , то .

Обратная задача: какие значения аргумента из промежутка соответствуют заданному значению функции?

Если , то ; если , то ; если , то .

Единственное решение обратной задачи обеспечивает монотонность функции на промежутке .

При каких значениях аргумента достигается значение функции , ? (рис. 2).

.

А как определить, как назвать это число ?

Значение аргумента , косинус которого равен , называется арккосинусом числа .

Каждому  соответствует единственное , и наоборот, каждое значение  достигается при единственном значении аргумента из промежутка , это значение  и называется арккосинусом числа .

, .

Пример:

;

;

.

По графику функции мы можем считывать значения арккосинуса.

Определение арккосинуса

Дадим строгое определение арккосинуса.

Определение: Если , то - это такое число из отрезка , косинус которого равен .

;

Пример:

, т.к. и .

, т.к. и .

Теорема о свойствах арккосинуса

Рассмотрим важное свойство арккосинуса:

Теорема:

Для любого  выполняется равенство:

или .

Доказательство:

Рассмотрим числовую окружность (рис. 3).

- множество значений арккосинуса.

Если , то ;

;

.

Теорема доказана.

Решение задач

Задача 1. Сравнить числа: и .

Решение (рис. 4).

Функция монотонно убывает, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: .

Задача 2. Вычислить .

Решение:

.

Ответ: .

Задача 3. Вычислить .

Решение:

По теореме о свойствах арккосинуса

;

;

.

Ответ: .

Вывод, заключение

Мы рассмотрели понятие арккосинуса, научились вычислять и считывать значения арккосинуса с помощью графика и с помощью числовой окружности. Решили триповые задачи. На следующем уроке мы используем арккосинус для решения тригонометрических уравнений.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.13 – 21.15, 21.17, 21.23, 21.47

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru»‎ (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).