04. Арккотангенс и решение уравнения ctg x = a

На уроке по теме «Арккотангенс и решение уравнения » рассматривается понятие арккотангенса числа, который можно искать по графику и на единичной окружности. Затем рассматривается  решение уравнения и примеры.

На уроке рассматривается понятие функции арккотангенс, как обратной для функции котангенс на промежутке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не непрерывна и не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для неё на этом промежутке, она называется арккотангенс.

По графику на промежутке  (рис. 1) можно находить значения арккотангенсов некоторых углов.

Определение:

Арккотангенсом числа  называется такой угол  из промежутка , котангенс которого равен числу  

Свойство 1: для любого числа .

Пример 1. Найти .

Решение:

1-й способ: по графику на рис. 1:

.

2-й способ: по свойству

.

Свойство 2: для любого числа .

Пример 2. (проверка свойства):

.

Построим единичную окружность и проведем линию котангенсов. Отметим на окружности точки найдём соответствующие точки на линии котангенсов (рис. 2).

Примеры 3. (рис. 2): 

;

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение: отметим на линии котангенсов точку и соответствующие точки на единичной окружности (рис. 3).

.

Ответ: .

Решение уравнения  в общем виде: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение: запишем решение по общей формуле относительно значения :

;

;

.

Ответ: .

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция непрерывна и монотонна и пробегает все свои значения от  до . Также было рассмотрено понятие арккотангенса числа и решено уравнения вида .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. - К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru»‎. 

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007. №№  21.32, 21.34(г), 21.35(в, г).