01. Первые представления о решении тригонометрических уравнений
20 мин
02. Арккосинус
17 мин
03. Арккосинус и решение уравнения cos t = a
25 мин
04. Арксинус
26 мин
05. Арксинус и решение уравнения sin t = a
24 мин
06. Арктангенс и решение уравнения tg x = a
19 мин
07. Арктангенс и решение уравнения tg x = a (продолжение)
17 мин
08. Арккотангенс и решение уравнения ctg x = a
16 мин
09. Арккотангенс и решение уравнения ctg x = a (продолжение)
21 мин
10. Простейшие тригонометрические уравнения
17 мин
05. Арксинус и решение уравнения sin t = a
Видео доступно по абонементу
Тема урока, введение
Мы узнали, что такое арксинус и теперь с его помощью решим уравнение при любом допустимом .
Решение задач
Задача 1. Решить уравнение .
Решение:
, значит, уравнение имеет решения.
Решим с помощью числовой окружности.
На линии синусов отметим точку . Проведём перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности – и (рис. 1).
Выпишем множества действительных чисел, соответствующих точкам:
;
, .
Возможна и иная форма записи:
, .
Проиллюстрируем решение этого же уравнения на графике.
Необходимо построить графики функций и и найти абсциссы точек их пересечения (рис. 2).
;
.
Ответ: , .
Решение уравнения sint=a в общем виде
Решим уравнение , , в общем виде.
Решение:
Отметим на линии синусов точку с координатой . Проведем перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью и получим две точки на окружности – и (рис. 3).
Точка соответствует множеству действительных чисел , .
Точка соответсвует множеству действительных чисел , .
Используем иную запись ответа
, .
При четном, т.е. , получаем формулу (1);
При нечетном, т.е. , получаем формулу (2).
Ответ: , .
Частные случаи уравнения sint=a
Рассмотрим частные случаи решения тригонометрического уравнения .
a) .
, .
b) .
, .
c) .
, .
Решение уравнений
Рассмотрим более сложные уравнения.
Задача 2. Решить уравнение .
Решение:
Произведём замену переменной: , .
; (не подходит);
;
, .
Ответ: , .
Задача 3. Решить уравнение .
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
;
;
;
;
или (не подходит).
Теперь решим уравнение (рис. 7).
Либо , .
Ответ: , .
Вывод, заключение
Мы рассмотрели решение уравнения для любого , при этом использовали определение арксинуса.
На следующем уроке мы познакомимся с определением арктангенса.
Список литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 22.9 – 22.12.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
"