03. Арксинус и решение уравнения sin x = a

На уроке по теме «Арксинус и решение уравнения » рассматривается понятие арксинуса числа, который можно вычислять по графику и на единичной окружности, и решается уравнение .

На уроке рассматривается понятие функции арксинус, примеры на вычисление арксинусов по графику и на единичной окружности, решается уравнение  при .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для неё на этом промежутке, она называется арксинус.

Построим график функции  на отрезке  (рис. 1) и будем находить значения арксинусов чисел по этому графику.

Определение:

Арксинусом числа  называется такой угол  из промежутка , синус которого равен числу

Свойство: для любого такого что  выполняется равенство .

Примеры 1. (рис. 1):

;

.

Построим единичную окружность и отметим на ней точки найдём соответствующие значения синусов на оси ординат (рис. 2).

Пример 2. (рис. 2):

.

Свойство: для любого такого, что  выполняется равенство .

Пример 3. (проверка свойства):

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение: на оси синусов отметим точку , проведём перпендикуляр к оси до пересечения с окружностью в точках  и  (рис. 3).

Объединим эти решения одной формулой:

.

Ответ: .

В общем виде решение уравнения  при :

.

Рассмотрим подробней объединение двух серий решений

Перепишем их следующим образом:

Замечаем, что если перед  стоит знак , то у числа  множителем является чётное число  (см. первую строку), если же перед  стоит знак , то у числа  множителем является нечётное число  (см. вторую строку).

Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения:

.

, (рис. 4).

, (рис. 5).

, (рис. 6).

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от  до  Также было рассмотрено понятие арксинуса и решено уравнение вида , при , со своими частными случаями.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. - К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru». 

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007. №№ 21.1,  21.2, 21.19, 21.20(б).