06. Арктангенс и решение уравнения tg x = a

На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции на наименьшем положительном периоде, вспомним её свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус равен минус арктангенсу . В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.

Чтобы ввести понятие арктангенс, рассмотрим функцию при .

Построим её подробный график.

На оси абсцисс будем откладывать точки кратные или . На оси ординат отложим соответствующие значения функции, известные нам из таблиц (рис. 1).

Промежуток  был выбран, так как на нём функция принимает все свои значения от до  и монотонно возрастает.

Напомним о прямой и обратной задаче для любой функции.

Прямая задача: по заданному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, если аргумент равен , то значение функции равно

Обратная задача: задано значение функции, найти соответствующее значение аргумента промежутке . Например, если , то .

Каждое значение функции  на промежутке  достигается только при одном значении аргумента и называется арктангенсом.

Арктангенс – это такое число , тангенс которого равен

Значения арктангенса определяются по графику (рис. 1).

Например: ;

.

Покажем, как определять значения арктангенсов на тригонометрической окружности с помощью линии тангенсов.

Отметим на числовой окружности точки  Соединим каждую из них с  началом координат и проведём лучи до пересечения с линией тангенсов. Получим значения тангенсов для указанных углов (рис. 3).

Примеры:

Отметим важное свойство арктангенса: .

Проиллюстрируем его на единичной окружности (рис. 4).

Если , то .

Если , ему соответствует дуга и .

.

Например: ;

.

Задача 1. Вычислить: .

Решение:

Значения арктангенсов определим по графику (рис. 1) или по свойству.

;

;

;

;

.

Ответ: .

Задача 2. Расположите в порядке возрастания числа: ; ; .

Решение (рис. 5).

;

;

.

На промежутке  функция монотонно возрастает .

Задача 3. Вычислить .

Решение:

;

Найдём . 

;

; 

;

.

Проиллюстрируем решение на прямоугольном треугольнике (рис. 6).

Дан угол , , т. е. катеты равны и  Гипотенузу находим по теореме Пифагора, .

Ответ: .

Задача 4. Вычислить .

Решение: ;

;

;

;

;

.

Проиллюстрируем решение на прямоугольном треугольнике  (рис. 7).

.

Ответ: .

Задача 5. Вычислить .

Решение:

.

Ответ: .

Мы познакомились с понятием арктангенс и решили типовые задачи. На следующем уроке мы решим уравнение  с помощью арктангенса.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. – К.: А. С. К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007. № 21.31, 21.35, 21.48 (а, г).

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «problems.ru».

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .