05. Арктангенс и решение уравнения tg x = a

Введение. График функции y=tgx, x∈(-π/2;π/2)

На уроке рассматривается понятие функции арктангенс, как обратной для  функции тангенс на промежутке

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной. Функциянепрерывна на любом интервале вида

В точкахфункция претерпевает разрыв. Функцияне монотонна на всей своей области определения, поэтому выбираем главную ветвь тангенсоиды на промежуткегде она непрерывна, монотонна и принимает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция на этом промежутке, название которой - арктангенс.

График функцииприприведен на рис. 1.

По графику на рис. 1 можно найти значения арктангенсов некоторых чисел.

Понятие арктангенса числа, его свойства и примеры

Определение:

Арктангенсом числаназывается такое числоиз интервалатангенс которого равен числу

Свойство 1: для любого числа

Примеры:

1)

 (по рис. 1);

2) (  по рис. 1).

Некоторые значения арктангенса на единичной окружности с линией тангенсов

Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов. Отметим на окружности точки, найдем соответствующие точки на линии тангенсов (рис. 2).

Пример (рис. 2):

Свойство 2: для любого числа

Решение Решить уравнение tgx=a

Решение: построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, отметим на ней точку, найдем соответствующие точки на окружности (рис. 3),в первой четверти ив третьей.

Числа, соответствующие этим точкам, описываются формулами:

Объединяем эти решения одной формулой:

Ответ:

Примеры решения простейших тригонометрических уравнений с дополнительными условиями

1. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, отметив точкуна оси абсцисс (оси косинусов) и соответствующие точкиина единичной окружности (рис. 4).

Отбор корней выполняется по рис. 4:

не подходит, поскольку не удовлетворяет условию 

Ответ:

2. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, отметив точкуна оси ординат (оси синусов) и соответствующие точкиина единичной окружности (рис. 5).

Отбор корней выполняется по рис. 5:

не подходит, поскольку не удовлетворяет условию

Ответ:

4. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, построив на единичной окружности точкии, соответствующие точкена линии котангенсов (рис. 4).

Отбор корней выполняется по рис. 6:

не подходит, поскольку не удовлетворяет условию

Ответ:

Итог урока

На уроке был рассмотрен график функциина промежуткепоскольку на этом промежутке функция непрерывна, монотонна и пробегает все свои значения отдо

Также было рассмотрено понятие арктангенса числа, решено уравнение видаи рассмотрены примеры решения простейших  тригонометрических уравнений с дополнительными условиями.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.31, 21.34(а, б, в), 21.35(а, в).