03. Числовая окружность на координатной плоскости

Тема урока, повторение

Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).

Каждому действительному числу  соответствует единственная точка  на окружности.

.

Каждой точке  на числовой окружности соответствует не только число , но и все числа вида , .

, .

Числовая окружность в координатной плоскости

Поместим окружность в координатную плоскость. По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.

, (рис. 2).

Наша задача – по данному числу  найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Пример 1.Дана точка  – середина дуги . Точке  соответствуют числа вида .

.

Найти координаты точки  (рис. 3).

Решение:

Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.

1. Точка  лежит на окружности, , значит, она удовлетворяет уравнению окружности .

, по условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол . Это значит также, что прямая  делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая .

Точка  лежит на прямой , поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.

Составим систему из двух уравнений.

Решив систему, получим искомые координаты.

2. Рассмотрим - прямоугольный (рис. 4).

;

;

.

Итак, мы задали число , нашли точку  и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).

; ; .

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Следующая задача – таким же образом определить координаты точек, кратных .

Окружность радиуса помещена в координатную плоскость, . Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).

Решение:

Рассмотрим  – прямоугольный.

, т. е. угол .

;

;

.

Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).

; ; .

Мы задали число , нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.

Решение задач

Самостоятельно рекомендуется найти координаты точки, соответствующей числу .

Пример 1. Дана точка . Найти её прямоугольные координаты.

Решение:

. 

Точка - середина третьей четверти (рис. 8).

.

Вывод, заключение

Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.
   А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.
   А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави). – М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎mathematics.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «‎problems.ru» (Источник).

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

№№ 12.1–12.4, 12.8, 12.14, 12.16.