01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
Видео доступно по абонементу
Определение функции f(n)
Пусть X – числовое множество.
Числовая функция f – закон, который каждому элементу из X сопоставляет единственное число.
Множество X называется областью определения функции f.
Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество N всех натуральных чисел.
Числовая последовательность может быть задана разными способами:
Аналитический
Словесный
Рекуррентный
Аналитический способ задания числовой последовательности
Необходимо указать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности.
Имеем формулу , где
Пример:
График последовательности – это множество всех пар, где n пробегает все натуральные значения.
Нарисуем график функции.
Эта ветвь – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если n = 1, то и.
Первая точка (1;1); вторая точка и т. д.
Рис. 1. График функции
Функция, следовательно,.
Роль нуля в заданной числовой последовательности
Рассмотрим множество значений данной последовательности:
Нарисуем ось y, отметим 1 и 0 на оси y, а также значения данной последовательности.
Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая) до 1 (включая). Данная последовательность меняется в этих пределах.
.
Последовательность ограничена сверху:.
Последовательность ограничена снизу:.
Верхняя граница – число 1 достижимо:.
Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, пока что мы видим, что члены последовательности «сгущаются».
Пример числовой последовательности
Нарисуем ось y:
– получилиокрестность точки 0. В любойокрестности точки 0 содержится хотя бы 1 член данной последовательности. Начиная с этого члена, все остальные члены последовательности содержатся в–окрестности.
Рис. 3. Ось y.–окрестность точки 0
Пример:;
Предел числовой последовательности
Какие точки последовательности находятся в–окрестности?
Это ;, замечаем, что все члены последовательности после 101 находятся в–окрестности точки 0, т. е. они как бы «сгущаются» в точке 0.
Любой, даже один, член попадает в– окрестность точки 0, а за ним весь остальной хвост последовательности попадает в эту окрестность.
Вот это число 0 называют пределом данной последовательности при. Запись такова:.
Можно взять любой, получается очень малая окрестность точки 0, но, начиная с некоторого номера, все члены последовательности находятся в этой–окрестности точки 0, т. е. мы знаем, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, приблизительно равны своему пределу, т. е. равны 0.
Как найти, с какого номера все члены последовательности помещаются в заданнойокрестности?
Допустим, задали маленькое число:
Тогда решим неравенство;.
Пример:
Пусть, тогда
Все члены, начиная с этого номера, умещаются в даннойокрестности точки 0.
Как бы близко мы ни встали около точки 0 вверх, всегда найдется член, который находится еще ближе, и все остальные члены будут ближе к точке 0.
Определение предела последовательности yn
Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбраннойокрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
y = b, члены последовательности (выделены красным), вокрестность попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера, такой номер обязательно существует. При заданном весь хвост находится вокрестности точки b и это для любого, сколь угодно малого.
Мы выяснили, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны своему пределу.
Свойства предела
Существует ли предел у всякой последовательности?
Последовательность .
Если последовательность имеет предел, она сходится, все члены сходятся к этому пределу.
Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.
Теорема Вейерштрасса, примеры применения теоремы
Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса.
Функция монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).
Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.
– сходится, т. е. имеет предел
Второй пример применения теоремы Вейерштрасса.
;
Все точки лежат на гиперболе, эти точки неограниченно приближаются к прямой
Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях n все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любойокрестности в точке 1.
Вывод
Мы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.
Список литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Укажите номер члена последовательности, равного.
Вычислите три последующих члена последовательности, если и.
Задана последовательность. Ограничена ли она?.
Начиная с какого номера все члены последовательности будут не меньше заданного числа A:, A = 19?
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
"