01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности

Определение функции f(n)

Пусть X – числовое множество.

Числовая функция f – закон, который каждому элементу из X сопоставляет единственное число.

Множество X называется областью определения функции f.

Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество N всех натуральных чисел.

Числовая последовательность может быть задана разными способами:

1. Аналитический

2. Словесный

3. Рекуррентный

Аналитический способ задания числовой последовательности

Необходимо указать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности.

Имеем формулу , где 

Пример:

График последовательности – это множество всех пар, где n пробегает все натуральные значения.

Нарисуем график функции.

Эта ветвь – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если n = 1, то и.

Первая точка (1;1); вторая точка и т. д.

Рис. 1. График функции

Функция, следовательно,.

Роль нуля в заданной числовой последовательности

Рассмотрим множество значений данной последовательности:

Нарисуем ось y, отметим 1 и 0 на оси y, а также значения данной последовательности.

Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая) до 1 (включая). Данная последовательность меняется в этих пределах.

.

Последовательность ограничена сверху:.

Последовательность ограничена снизу:.

Верхняя граница – число 1 достижимо:.

Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, пока что мы видим, что члены последовательности «сгущаются».

Пример числовой последовательности

Нарисуем ось y:

 – получилиокрестность точки 0. В любойокрестности точки 0 содержится хотя бы 1 член данной последовательности. Начиная с этого члена, все остальные члены последовательности содержатся в–окрестности.

Рис. 3. Ось y.–окрестность точки 0 

Пример:;

Предел числовой последовательности

Какие точки последовательности находятся в–окрестности?

Это ;, замечаем, что все члены последовательности после 101 находятся в–окрестности точки 0, т. е. они как бы «сгущаются» в точке 0.

Любой, даже один, член попадает в– окрестность точки 0, а за ним весь остальной хвост последовательности попадает в эту окрестность.

Вот это число 0 называют пределом данной последовательности при. Запись такова:.

Можно взять любой, получается очень малая окрестность точки 0, но, начиная с некоторого номера, все члены последовательности находятся в этой–окрестности точки 0, т. е. мы знаем, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, приблизительно равны своему пределу, т. е. равны 0.

Как найти, с какого номера все члены последовательности помещаются в заданнойокрестности?

Допустим, задали маленькое число:

Тогда решим неравенство;.

Пример:

Пусть, тогда 

Все члены, начиная с этого номера, умещаются в даннойокрестности точки 0.

Как бы близко мы ни встали около точки 0 вверх, всегда найдется член, который находится еще ближе, и все остальные члены будут ближе к точке 0. 

Определение предела последовательности yn

Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбраннойокрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

y = b, члены последовательности (выделены красным), вокрестность попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера, такой номер обязательно существует. При заданном весь хвост находится вокрестности точки b и это для любого, сколь угодно малого.

Мы выяснили, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны своему пределу.

Свойства предела

Существует ли предел у всякой последовательности?

Последовательность  .

Если последовательность имеет предел, она сходится, все члены сходятся к этому пределу.

Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.

Теорема Вейерштрасса, примеры применения теоремы

Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса.

Функция монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).

Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.

 – сходится, т. е. имеет предел

Второй пример применения теоремы Вейерштрасса.

; 

Все точки лежат на гиперболе, эти точки неограниченно приближаются к прямой

Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях n все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любойокрестности в точке 1.

Вывод

Мы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Укажите номер члена последовательности, равного.

2. Вычислите три последующих члена последовательности, если и.

3. Задана последовательность. Ограничена ли она?.

4. Начиная с какого номера все члены последовательности  будут не меньше заданного числа A:, A = 19?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics-tests.com» (Источник).

2. Интернет-портал «myshared.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «resolventa.ru» (Источник).