01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
Видео доступно по абонементу
Постановка задачи. Правило нахождения производной функции y=f(kx+m)
Дифференцирование функции
Физический смысл производной – это мгновенная скорость роста функции при данном значении аргумента. Мы изучили таблицу производных от функций, которые зависели от аргумента. Например, , , где и – функции, зависящие только от аргумента . Теперь вместо аргумента ставится аргумент . Например, найти производную или . Трудность заключается в том, что мы имеем дело со сложной функцией: функция зависит не от , а от функции от . В данном случае функция от – это линейная функция.
Без доказательства в учебнике принимается следующее правило: .
Напомним, что .
Всю таблицу производных и правила дифференцирования, которые мы знаем, усложняем наличием аргумента .
Научимся находить такие производные. Например:
;
.
Рассмотрим всю таблицу производных, но аргументом будет линейная функция от .
1.
2.
3.
4.
5. .
Запишем конкретный пример:
.
Производная тангенса
Пополним таблицу производных. Выведем производную, пользуясь соответствующими правилами. Знаем, что. Напомним, что
Тогда:
Итак, получили, что.
Теперь вместо можем поставить линейную функцию от, а именно
.
Получили еще одну формулу.
Примеры.
1) .
2) .
Итак, пользуясь правилом, которое мы изучаем, вывели дополнительную формулу для производной тангенса. Сделаем то же самое относительно котангенса.
Производная котангенса
Итак, вывели еще одну формулу. Таким образом, вывели производную котангенса также как и вывели производную тангенса от простого аргумента. Тогда,.
Пример.
Вычислить производную. Для начала запишем отдельно производную аргумента, а теперь запишем производную
Итог урока
На уроке изучены производные от функций, аргументом которых есть линейные функции. Для того чтобы найти производную, нужно взять производную от самой функции и умножить на коэффициент, то есть. Таблицу производных, дополнили производными тангенса и котангенса.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).
Сделай дома
№ 42.1; 42.2 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007)
"