01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
Видео доступно по абонементу
Дифференцирование сложной функции. Примеры
Сложную функцию мы уже дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию. Например,. Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.
Начнем с функции
1.
Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.
Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.
Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции.
Таблица производных сложных функций
1.
2.
3.. Напомним, что.
Пример.
4..
Пример.
5.
6.
7.
8..
Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.
Задача из практики подготовки к ЕГЭ
В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.
Найти минимум функции.
Решение.
ОДЗ: .
Найдем производную. Напомним, что,.
Приравняем производную к нулю . Точка- входит в ОДЗ.
Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).
.
Рассмотрим точкуи выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точкуменяет знак. В данном случае производная меняет знак, значит,- точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума:. Нарисуем схему (см. рис.2).
.
На промежутке- функция убывает, на- функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке.
Ответ:.
Итог урока
На уроке рассмотрели дифференцирование сложных функций, составили таблицу и рассмотрели правила дифференцирования сложной функции, привели пример применения производной из практики подготовки к ЕГЭ.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).
Сделай дома
№№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
"