12. Формулы приведения и решение типовых задач

Тема урока, введение

Формулы приведения подчиняются двум правилам, которые мы рассмотрели на прошлом уроке. Они позволяют привести значения тригонометрических функций к более удобным углам. Особенно важны углы, кратные или .

Таблица значений тригонометрических функций для основных углов

Рассмотрим таблицу значений тригонометрических функций для таких углов. 

По вертикали отложены функции, по горизонтали – углы, кратные или , на отрезке .

Держать такую таблицу в голове довольно сложно. Надо иметь способ быстрого получения значений тригонометрических функций для этих углов. Применение формул приведения и есть такой способ. Для этого достаточно запомнить значения тригонометрических функций для углов , , . 

Расположение углов, кратных π/4 или π/6, на числовой оси и числовой окружности

Рассмотрим расположение углов на числовой оси и числовой окружности.

Углы из отрезка , кратные или , на координатной оси (рис. 1).

Углы из отрезка , кратные или , на единичной окружности (рис. 2).

a) Значения , кратные ;

b) Значения , кратные .

На рисунке показан не только каждый угол, но и значения синуса угла и косинуса угла. Таким образом, знания значений тригонометрических функций углов и  достаточно для того, чтобы определять значения тригонометрических функций всех остальных углов.

Решение задач

Задача 1. Найти значения тригонометрических функций угла .

Решение:

.

Угол находится в третьей четверти (рис. 3).

;

;

или ;

или .

Задача 2. Упростить выражение .

Решение:

Упростим второй и третий члены выражения.

;

Изобразим угол  на числовой окружности и определим четверть, чтобы узнать знак   (рис. 4).

;

.

Ответ: .

Задача 3. Упростить выражение:

.

Решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

.

Ответ: 1.

Задача 4. Вычислить .

Решение:

1. ;

.

2. ;

3. .

Ответ: .

Задача 5. Решить уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

, .

Задача 6. Решите уравнение: .

Решение:

1) ;

2) ;

3)  при любом действительном .

Ответ: .

Вывод, заключение

Мы еще раз рассмотрели формулы приведения и применили их к решению некоторых типовых задач. В дальнейшем мы неоднократно убедимся в широком применении формул приведения.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 26.10 – 26.14.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).