11. Формулы приведения

Тема урока, введение

Формулы приведения предназначены для того, чтобы привести тригонометрическую функцию произвольного угла  к тригонометрической функции наименьшего из углов.

Суть формул приведения

Рассмотрим конкретный пример. Рассмотрим дуги в и и, соответственно, и (рис. 1).

, как прямоугольные по гипотенузе и острому углу .

; ; .

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.

;

; .

Функции большего угла приведены к функциям меньшего угла. В этом суть формул приведения.

Для применения формул приведения тригонометрическую функцию любого угла нужно привести к одному из видов: , , , .

Два правила формул приведения, примеры.

Формул приведения много, но все они подчиняются двум правилам:

Первое правило:

Для аргументов ,  функция меняется на кофункцию, т.е. синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот.

Для аргументов ,  функция не меняется.

Примеры на первое правило:

Знак пока не учитываем, он определяется вторым правилом, пока важно понять, в каких случаях функция меняется на кофункцию, а в каких не меняется.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Для аргументов вида , наименование функции следует изменить на кофункцию.

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Для аргументов вида , наименование функции не меняется.

Второе правило (для знака приведенной функции, функции угла ).

1) Считаем угол  острым, .

2) Определяем четверть и знак в ней приводимой функции (функции слева).

3) Ставим этот знак перед приведенной к углу  функцией (функцией справа).

Примечание: Угол  может быть любым, острым мы его считаем условно, для применения правила.

Примеры на второе правило:

1) .

Угол  находится во второй четверти. Во второй четверти , ставим знак плюс.

.

2) .

Угол  находится в третьей четверти. В третьей четверти ,  ставим знак минус.

.

3) .

Угол  находится во второй четверти. Во второй четверти , ставим знак минус.

.

4) .

Угол  находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти , ставим знак минус.

.

5) .

Угол  находится в третьей четверти. В третьей четверти , ставим знак минус.

.

6) .

Угол  находится во второй четверти, во второй четверти , ставим знак минус.

.

7) .

Угол  находится во второй четверти. Во второй четверти , ставим знак минус.

.

8) .

Угол  находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти , ставим знак минус.

.

Итак, мы рассмотрели различные примеры применения первого и второго правил формул приведения.

Приемы, облегчающие запоминание формул приведени

Рассмотрим приемы, облегчающие запоминание формул приведения.

1. «Правило лошади». Глядя на числовую окружность легко ответить на вопрос, меняется ли функция на кофункцию.

Для аргументов , , т.е. аргументов, отложенных от вертикальной оси, на вопрос, меняется ли функция  на кофункцию, лошадь, глядя на точки и , будет утвердительно кивать – функция меняется на кофункцию (рис. 10)  .

Для аргументов ,  , т.е. аргументов, отложенных от горизонтальной оси, лошадь, глядя на точки и , будет отрицательно мотать головой – функция не меняется (рис. 10)  .

2. Используем периодичность и четность.

Вспомним, что наименьший положительный период у тангенса и котангенса равен , . Это значит, что ;

, , .

Например, ;

.

У синуса и косинуса наименьший положительный период равен , .

;

, , .

Например, ;

.

Задачи

Рассмотрим примеры на использование формул приведения.

1) Вычислить значения всех тригонометрических функций для .

Решение (рис. 11).

Угол  находится во второй четверти, синус в этой четверти положителен, косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

;

;

;

.

2) Вычислить значения всех тригонометрических функций угла .

Решение (рис. 12).

Угол  находится в третьей четверти, в третьей четверти синус и косинус отрицательны, тангенс и котангенс положительны.

;

;

;

.

Вывод, заключение

Мы рассмотрели формулы приведения и пояснили их на конкретных примерах. В дальнейшем мы будем активно использовать формулы приведения для преобразования тригонометрических выражений.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 26.1 – 26.8.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).