24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x

В ходе урока  по теме «Исследование тригонометрических функций. Функция » рассматривается решение типовых задач на производную с тригонометрическими функциями. Вначале урока обсуждаются особенности решения задач с тригонометрическими функциями. Затем исследуется и строится график функции .

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл».

Тригонометрические функции имеют важную особенность – наличие периода. Всю методику, которую знаем для исследования функций без тригонометрических включений, используем, но надо учесть наличие периода.

Наличие периода даёт возможность провести исследование функции и построение графика на отрезке длиной, равной периоду. Затем график функции периодически распространяется для всех значений аргумента из области определения функции.

Задача.

Построить график функции .

Преобразуем формулу: .

Найдём период данной функции. У функции  наименьший период . У функции , если понизить степень и выразить через  – период .

Итак, функция  имеет наименьший период . Это означает, что график функции сначала можно построить на промежутке длиной , а потом продолжить по периодичности.

Функция чётная, так как  для всех  из . График симметричный относительно оси

Учитывая периодичность функции, можно построить график этой функции на любом промежутке, длиной . Свойство чётности функции даёт возможность задачу упростить, а именно, построить график на участке , а на участке  – построить по симметрии.

Найдём интервалы знакопостоянства функции.

.

, когда , отсюда , или , .

Знак функции на каждом интервале удобно определить с помощью единичной окружности (см. рис. 1). Точки , ,  – точки, которые формируют интервалы знакопостоянства функции.

Выясним знак функции на интервале . Для этого возьмём значение функции в какой-нибудь точке из этого интервала. Например, , значит, на этом интервале функция отрицательна. Дальше, на интервале  функция меняет знак. В силу симметрии, на интервале  – функция отрицательна, а на интервале  – функция положительна (см. рис. 2).

Построим график функции в окрестности каждого корня.

Точка  – является точкой максимума, так как на промежутках  и  – функция отрицательна, кривая находится под осью и только в точке  она равна нулю. Значит, функция в окрестности корней ведёт себя следующим образом (см. рис. 3):

Понятно, что на интервалах  и  – функция будет иметь точки экстремума.

Исследуем функцию с помощью производной:

. Приравняем её к нулю:

, отсюда .

Найдём критические точки:  – это все критические точки, которые имеет функция. Но нам нужны те, которые попадают в выбранный промежуток: , , . Вычислим значение функции в точках , и определим – это точки максимума или минимума.

Найдём интервалы знакопостоянства производной на единичной окружности (см. рис. 4).

Найдём знак производной, в какой- либо точке из интервала :

. Таким образом, точка  – точка минимума, а  – точка максимума. Вычислим: ;

.

Построим график функции  (см. рис. 5 – 6).

Одна из типовых задач – нахождение множества значений функции.

Ответ: .

На уроке рассмотрены особенности исследования и построения графика тригонометрической функции.  Все типовые задачи решаются аналогично задачам из предыдущих уроков.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа.- М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.-К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы).- М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).- М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.- М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).- М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru».  

Проверь себя

1. № 726(а), 739(а) (Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).- М.: Просвещение, 2003.)