16. Функция y = cos t, её свойства, график и типовые задачи

Тема урока, введение

На прошлом уроке мы построили график функции , осуществив сдвиг кривой  на влево, и рассмотрели свойства функции . Сейчас мы детализируем эти свойства и применим их к решению важнейших типовых задач.

Поведение и особенности функции y=cost на промежутке [0; π]

Рассмотрим поведение функции  и отметим важнейшие точки на промежутке .

В координатной плоскости (рис. 1).

На числовой окружности (рис. 2).

Сформулируем основные особенности функции  при :

1. Функция монотонно убывает от  до .

2. Функция принимает все значения из отрезка .

3. Каждое свое значение функция принимает при единственном значении аргумента (следует из монотонности функции).

Решение задач

Задача 1. Найти пределы изменения функции  на данном отрезке.

1) .

На заданном отрезке функция монотонно убывает, значит, наименьшее значение принимает на правом конце.

;

;

Ответ: .

2) .

Функция монотонно убывает.

Ответ: .

3) .

На данном промежутке функция немонотонна.

;

;

Ответ: .

Монотонность функции означает, что не только каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, но и обратное – каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента.

Например:

Если , то - единственное решение на промежутке .

Если , , то .

Сколько решений имеет уравнение  на промежутке ? Одно, также в силу монотонности.

Задача 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение:

1) ;

2) .

Решение:

1) Построим график функции  (рис. 6).

Уравнение  имеет хотя бы одно решение при .

В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.

Ответ: .

2) Решим другим способом, используя область значений функции :

;

;

;

.

Ответ: .

Задача 3. Решить уравнение .

Решение:

Построим в одних координатных осях графики функций и  (рис. 7).

Графики имеют только одну общую точку .

Решим уравнение еще одним способом.

.

Ответ: .

Задача 4. Найти число корней уравнения .

Решение (рис. 8).

На промежутке  функция  монотонно возрастает, функция  монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.

На промежутке  функция  убывает, функция возрастает, значит, и на этом промежутке графики также имеют только одну общую точку.

Ответ: Два корня.

Вывод, заключение

Мы рассмотрели и детализировали свойства функции  и использовали их при решении задач. В дальнейшем рассмотренные свойства будут неоднократно использоваться.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.13, 16.33 – 16.35, 16.43.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎problems.ru»‎ (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).