14. Функция y = sin x, её свойства, график и типовые задачи

Введение

На прошлом уроке мы рассмотрели основные свойства функции  и сейчас используем их при решении задач.

Поведение функции y=sint на промежутке [-π/2; π/2]

Подробно рассмотрим поведение функции на промежутке  и отметим основные точки (рис. 1).

Теперь те же точки поместим в числовую окружность на отрезке  (рис. 2).

Отметим некоторые особенности функции  при .

1) Монотонное возрастание функции от  до .

2) Функция пробегает все свои возможные значения, .

Решение типовых задач

Рассмотрим несколько задач, при решении которых очень важное значение имеет монотонность функции.

Задача 1.

a) Найти наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение:

Функция монотонно возрастает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на правом конце отрезка,  (рис. 3).

b) Найти наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение:

Функция монотонно возрастает на указанном отрезке, значит, наименьшее значение принимает на его левом конце,  (рис. 3).

Ответ: a) ; b) .

Задача 2. Если аргумент меняется в заданных пределах, то найдите, в каких пределах меняется функция . Найти наименьшее и наибольшее значение функции.

a) .

Решение:

Функция  монотонно возрастает на  отрезке , значит,  (рис. 4).

;

.

Ответ: ; ; .

b) .

Решение:

На заданном промежутке функция немонотонна (рис. 5).

На графике мы видим, что функция меняется в пределах .

.

;

.

Ответ: ; ; .

Задача 3. Найти количество решений уравнения  на промежутке .

Решение:

На заданном промежутке функция монотонна, значит, каждое свое значение она принимает при единственном значении аргумента (рис. 1). Поэтому уравнение на данном отрезке имеет единственное решение.

Монотонность функции на промежутке [-π/2; π/2]

Важнейшая особенность функции  на отрезке - монотонность функции. Поэтому и прямая и обратная задачи тут имеют одно решение.

1. Прямая задача – заданному значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Например: ; ; .

2. Обратная задача – заданное значение монотонной функции достигается только при одном значении аргумента.

Например: Если , , то ;

Если , , то ;

Если , , то .

Задача 4. Построить график функции .

Решение:

Построим график функции . В силу периодичности достаточно будет рассмотреть график на участке .

Для получения искомого графика кривую  необходимо сдвинуть на  вправо по оси (рис. 6).

Вспомним общее правило: Кривая  получается сдвигом кривой  на  вправо по оси .

Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение (рис. 7).

;

.

Ответ: ; .

Задачи на преобразование графиков функций

Задача 6. Найти пределы изменения функции  на отрезке .

Решение (рис. 8).

Ответ: .

Задача 7. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнения имеют хотя бы одно решение.

a) ;

b) . 

Решение:

a) Решим задачу графическим способом.

Построим график функции  на участке . Для этого необходимо построить график функции , отобразить его симметрично относительно оси и сдвинуть на 1 вверх по оси (рис. 9).

.

Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, график должен пересекаться прямой  хотя бы в одной точке.

Ответ: .

b) Построим график функции  (рис. 10).

.

Ответ: .

Задача 8. Найти число решений уравнения .

Решение:

Построим в одних координатных осях графики функций и .

График функции - парабола , сдвинутая на  вправо по оси x (рис. 11).

На промежутке ,  возрастает, а убывает. Значит, на этом промежутке есть только одно решение уравнения .

На промежутке , убывает, возрастает, значит, решение уравнения на этом промежутке также единственное. Всего уравнение имеет два решения.

Ответ: Два решения.

Задача 9. Решить уравнение .

Решение:

Построим графики функций и  (рис. 12).

На рисунке видно, что построенные графики функций имеют только одну общую точку с абсциссой .

Ответ: .

Вывод, заключение

Мы рассмотрели график функции , подробно изучили особенности ее поведения на промежутке , использовали особенности и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.10, 16.27 – 16.31, 16.42.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).