23. Функция y = сtg x, её свойства и график

Определение котангенса

Зададим единственное число . Каждому действительному числу  соответствует единственная точка  на числовой окружности (рис. 1). Точка  имеет абсциссу и ординату, абсциссу называют косинусом числа , ординату – синусом числа . Отношение косинуса  к синусу  называется котангенсом числа .

;

;

, , , .

Каждому допустимому значению  соответствует единственная точка на окружности, единственная пара её координат, а значит и единственное значение дроби , т.е. единственное значение котангенса. Таким образом, задаётся функция  или .

Аргументом функции котангенс может быть число  или угол . Вспомним связь между числовым и угловым аргументами.

Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна  (рис. 2).

В окружности  штук радиан.

;

Если , то .

Если есть угол  и окружность радиуса 1, то длина этой дуги или аргумент  связаны с  следующим образом:

.

Котангенс на числовой окружности

Как определить значения котангенса для конкретных значений числового или углового аргумента? Они расположены на линии котангенсов – касательной к окружности в точке (рис. 3).

Возьмем аргумент  или угол . Аргументу  или углу в радианах соответствуют синус и косинус. Рассмотрим и .

;

;

.

График функции y=ctgt

Изобразим график функции  в координатной плоскости. По формулам приведения . Поэтому для построения графика функции достаточно график функции  симметрично отобразить относительно оси и сдвинуть вдоль оси на  влево (рис. 4).

Свойства функции y=ctgt

Исследуем график функции .

1) Область определения: , .

2) Область значений: .

a) Каждому допустимому  соответствует единственное значение .

b) Любой  достигается при одном либо нескольких значениях .

3) Функция нечетна:

.

График симметричен относительно начала координат.

4) Наименьший положительный период :

.

Значение периода котангенса  также следует из формулы  при том, что нам известен период тангенса.

5) Точки пересечения с осью :, .

Точки пересечения с осью отсутствуют (рис. 4).

6) Определим интервалы знакопостоянства (рис. 5):

, ;

, .

7) Функция монотонно убывает на каждом из интервалов , .

Покажем это:

Рассмотрим промежуток  длиной в период. Функция монотонно убывает от  до .

Действительно, если мы возьмем две точки из этого промежутка, такие, что , то - большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис. 6).

На каждом из отдельно взятых участков длиной в период функция также монотонно убывает.

8) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Вывод, заключение

Мы изучили функцию , её график и свойства. Все они будут использоваться в дальнейшем при решении различных задач, в том числе и при решении тригонометрических уравнений, к изучению которым мы приступим на следующем уроке.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 20.2, 20.3(б, г), 20.5, 20.19.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).