22. Функция y = tg x, её свойства и график

Напоминание: определение функции, графика функции

Напоминание:

Определение: Функцией называется закон, по которому каждому допустимому значению  ставится в соответствие единственное значение .

Множество всех точек координатной плоскости , , называется графиком функции .

Определение тангенса

На отрезке  задана функция  (рис. 1).

По определению, каждому значению  ставится в соответствие только одно значение . И обратно: значение функции  может достигаться при нескольких значениях аргумента: и .

Дадим определение функции  или .

Нам важен закон, по которому каждому значению  ставится в соответствие . 

Зададим произвольное . Значение  откладывается на числовой окружности по часовой стрелке либо против часовой стрелки, в зависимости от знака . Получаем единственную точку с единственной парой координат (рис. 2).

;

.

Координату  называют косинусом числа , координату - синусом числа .

Тангенсом числа  называется отношение синуса  к косинусу .

, , .

Тангенс на числовой окружности

Нам известно, что каждому значению аргумента  ставится в соответствие единственное значение функции . Покажем это графически.

Проведем касательную к числовой окружности в точке . Заданному значению  соответствует единственная точка , единственная прямая и единственная точка пересечения прямой и касательной (рис. 3).

;

Наша цель – найти координаты точки , для этого решим систему уравнений.

.

.

Ордината точки  равна .

Прямую  называют линией тангенсов.

Исследование четности и периодичности функции y=tgt

Докажем, что область значений тангенса – это все действительные числа, .

Доказательство:

Зададим любое действительное значение  и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

.

Отложим  на линии тангенсов, получим точку  (рис. 4).

Соединим её с точкой , получим прямую , которая пересекает числовую окружность хотя бы в одной точке , а, значит, существует единственная дуга  и хотя бы одно значение , которое равно длине дуги.

Любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. Но любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Таким образом, мы задали любое значение функции и доказали, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Отметим два важных свойства функции .

1. Нечетность функции.

.

Т.е. .

2. Докажем, что период функции равен .

.

Таким образом, для любого значения  выполняется , .

График функции y=tgt

Эти свойства функции  позволяют нам легко построить её график. Период функции равен , значит, мы можем  изучить её свойства и построить график на любом участке длиной .

Нечетность функции позволяет симметрично отобразить участок графика относительно начала координат.

С учетом этого построим график функции  на промежутке  (рис. 5).

Мы получили график функции на заданном промежутке. Можно было построить график и по известным табличным значениям. Например:

.

Из построенного графика функции на промежутке  видно, что функция возрастает. Докажем это.

Рассмотрим график  на промежутке . Точки и ,  (рис. 6).

Докажем, что .

Доказательство:

.

На промежутке  функция  возрастает, значит  (рис. 7).

.

На промежутке  функция  убывает, значит  (рис. 8).

;

, значит, функция  возрастает на промежутке .

Зная свойства функции, мы можем построить её график на всей области определения.

, , .

В точках  проходят вертикальные асимптоты (рис. 9).

Свойства функции y=tgt

Рассмотрим основные свойства функции .

1) Область определения: , .

2) Функция периодическая с периодом .

3) Функция нечетная.

4) Функция возрастает и непрерывна на любом интервале , .

5) Функция не ограничена.

6) Функция не имеет ни минимального, ни максимального значения.

7) .

Решение уравнения

Задача.  Решить уравнение .

Решение:

На промежутке  функция монотонно возрастает, значит, на этом промежутке значение  достигается при единственном значении аргумента  (рис. 10).

С учетом периодичности получаем , .

Ответ: , .

Вывод, заключение

Мы рассмотрели функцию , её свойства и график. На следующем уроке рассмотрим функцию .

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 20.1, 20.3(а,в), 20.4, 20.17, 20.18.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).