11. Инструменты математики: множества, высказывания. Профильный уровень

Множество. Подмножество

Чтобы выделить какие-то объекты из окружающего мира, мы выделяем уникальные признаки, по которым можно их отличить. Например, берёзы ― по цвету ствола, клёны ― по форме листа и тому подобное (см. рис. 1).

Для бытовых целей этого достаточно. Биологи, в свою очередь, выделяют более строгие характерные отличия для деревьев разных видов.

Когда маленький ребёнок задаёт вопрос, почему трава зелёная, самым правильным был бы такой ответ: «Люди выделили такую характеристику, как цвет. Поскольку трава и деревья были у людей на виду и являлись важными природными объектами, их цвет стал базовым, и все объекты с таким же цветом стали называть зелёными» (см. рис. 2).

Вместе с тем нам часто приходится оперировать понятиями, которые не выделишь с помощью одного или нескольких уникальных признаков: человек, любовь, совесть и тому подобное. При этом каждый понимает, что подразумевается под таким словом, хотя представления о смысле слова у разных людей могут сильно отличаться.

В математике тоже есть неопределяемые понятия, то есть объекты, которые интуитивно понятны и не могут быть строго определены через другие объекты. Наоборот, все остальные объекты мы будем определять в том числе и через такие базовые, неопределяемые понятия. В каком-то смысле их можно назвать аксиоматическими. Вспомните, мы принимали аксиомы как истинные утверждения без доказательств, а затем с их помощью доказывали различные теоремы.

Мы уже знаем некоторые из таких базовых неопределяемых понятий, например: точка, прямая, плоскость (см. рис. 3).

Рассмотрим ещё одно такое математическое понятие ― множество.

Объекты, объединённые общим признаком, образуют множество. Так, можно выделить множество объектов зелёного цвета. Или множество деревьев (см. рис. 4).

Когда человек заполняет анкету, то перечисляет свою принадлежность к разным множествам: множество людей с фамилией Иванов, множество студентов или множество школьников, множество людей, родившихся в России, и так далее (см. рис. 5).

Всем нам ясно, что множество ― это набор элементов, который мы выделили для решения некоторой задачи. Но это бытовое определение, строгого математического определения дать множеству мы не сможем, точно так же, как и элементу множества.

Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: ,,,…, а их элементы ― строчными: ,,,… Некоторые множества имеют стандартные обозначения. Например, буквой всегда обозначается множество целых чисел.

Тот факт, что элемент принадлежит множеству , записывается с помощью специального знака принадлежности «»:  (читают: « принадлежит множеству »).

Или реже вот так:

.

Существует запись, обозначающая, что данный элемент не принадлежит множеству:  (читают: « не принадлежит множеству »).

Например: , но , где ― множество натуральных чисел.

Чтобы задать множество, то есть понять, из каких элементов оно состоит, есть два способа:

1. Непосредственно перечислить все элементы множества.

Например, множество  состоит из трёх элементов, и все они нам известны. Такой способ подходит только для конечных множеств.

2. Задать множество можно с помощью характеристического свойства, то есть указать, каким необходимым и достаточным свойством должны обладать элементы, чтобы принадлежать данному множеству.

Например, предыдущее множество может быть задано с помощью следующего свойства: , то есть в входят те элементы, которые являются корнем уравнения .

В жизни мы используем оба этих способа. Если мама просит купить в магазине хлеб, молоко и конфеты, то она задаёт множество покупок перечислением. Если же мама просит положить в стирку все рубашки, то она выделяет характеристическое свойство множества одежды для стирки, а не перечисляет: «Положи синюю рубашку, рубашку в белую полоску» и так далее (см. рис. 6).

Характеристическим свойством можно задавать и конечные, и бесконечные множества.

Так, знакомые нам числовые интервалы ― это множества, заданные характеристическим свойством.

Например, интервал (2; 5] ― это множество, заданное характеристическим свойством

.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и имеет стандартное обозначение «».

Может показаться, что выделение такого множества не принесёт особой пользы. Но на самом деле, его роль так же велика, как роль числа ноль, которое тоже вроде бы не обозначает никакого количества.

Вы, несомненно, сами записывали не раз: , подразумевая, что уравнение, неравенство или система не имеет решений.

Например, множеством решений уравнения  является пустое множество: , так как уравнение не имеет решений.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

При перечислении элементов множества порядок не важен, поэтому множества  и  равны. Используем мы здесь обычный знак равенства: .

Множество называется подмножеством множества , если оно состоит только из элементов множества .

Можно сказать иначе: любой элемент является и элементом .

Тот факт, что является подмножеством , записывают с помощью специального знака «»:

 ― « включено в ».

Или

 ― « включает ».

Так, множество девочек 10А класса является подмножеством всего 10А класса (так как любая девочка из 10А в нём обязательно учится). А вот множество отличников 10А класса не обязательно является подмножеством множества , так как среди отличников могут быть мальчики, которые, естественно, не входят в (см. рис. 7).

Теперь мы можем записать формальное определение подмножества:

.

Множество  является подмножеством множества , так как любой элемент множества является и элементом множеством .

Легко видеть, что множество является своим же подмножеством. В самом деле, любой элемент множества является элементом множества :

.

Такие простые случаи в математике называют тривиальными. То есть множество является своим тривиальным подмножеством.

У множества есть ещё одно тривиальное подмножество ― пустое. То есть для любого множества верно: .

На первых порах с этим утверждением обычно возникает внутреннее несогласие. Ведь оно означает, что все элементы пустого множества являются элементами , то есть должно быть верно утверждение .

Как бы это странно ни выглядело, но это утверждение действительно верно.

Ведь чтобы его опровергнуть, нам надо найти такой элемент пустого множества, который не принадлежит . Но это точно не получится сделать как раз из-за отсутствия элементов у пустого множества.

Условности классификации

Такие «пограничные» случаи практически неизбежны при любой попытке классификации. Мы выделяем траву, кусты и деревья, пытаемся дать им определения, а потом получается, что банан ― это трава, хотя кажется, что он должен быть деревом.

Любая классификация ― это наша попытка выделить определённую категорию объектов из окружающего мира, и могут возникать двусмысленные ситуации на границе этой категории. В этом случае чаще всего просто принимаются определённые договорённости.

Так и в случае с самим множеством и пустым множеством ― можно считать их подмножествами, а можно и не считать. Но для решения многих задач описанная нами классификация «считать» оказалась удобнее, её и договорились использовать. Такие ситуации нередки как в жизни вообще, так и в математике. Вспомните, что мы договорились относить ноль к целым, но не к натуральным числам, хотя можно было бы поступить и по-другому.

Подумайте, является ли пустое множество своим подмножеством?

Все остальные подмножества, кроме пустого и самого множества, называют нетривиальными, или собственными, подмножествами.

С помощью подмножеств можно дать определение равных множеств:

.

Операции над множествами. Круги Эйлера

Представьте, что перед вами слева 2 дерева, а справа ― 3. Ответ на вопрос «а сколько всего деревьев?» можно дать двумя разными способами.

Первый: сложение этих количеств. Вводите понятие операции с числами, ответ на вопрос про деревья: . Но аппарат формализуется дальше. Вводится странное число 0, которое вроде бы ничего не значит, придумывается обозначение для разности меньшего и большего чисел, хотя в жизни такое количество не встречается, и так далее. Так получается целая наука, алгебра чисел, которую мы обычно называем просто алгеброй.

Второй путь заключается в том, что рассматриваются сначала два разных множества деревьев, потом они объединяются в одно. Для этого нужно ввести операции с множествами ― объединение, пересечение, вычитание. Ввести пустое множество. И получится целая наука, алгебра множеств. И у неё есть своё применение для решения различных задач.

Некоторые элементы этой теории мы сейчас и рассматриваем.

Для наглядности часто используют круги Эйлера (или диаграммы Эйлера-Венна) ― схематическое изображение множеств кругами.

Все точки внутри круга соответствуют элементам, принадлежащим множеству, вне круга ― не принадлежащим множеству (см. рис. 8).

Все множества располагают внутри универсального множества, которое изображают прямоугольником (см. рис. 9).

Универсальное множество ― это максимальное возможное множество в рассматриваемой ситуации.

Например, если мы рассматриваем числовые множества, то универсальным множеством для задач из школьной программы будет множество всех действительных чисел . Если речь идёт о различных множествах учеников школы, то все учащиеся школы и будут составлять универсальное множество (см. рис. 10).

Таким образом, все множества являются подмножествами универсального множества.

Перейдём к первой операции с множествами.

1. Объединение двух множеств А и В ― это новое множество , состоящее из всех элементов и всех элементов .

На диаграммах Эйлера-Венна объединение двух множеств и будет представлено фигурой, состоящей из обеих фигур и (см. рис. 11).

Для записи такого множества применяют символ объединения «».

Достаточно очевидны следующие свойства объединения множеств:

1) ― объединение содержит все элементы как множества , так и множества ; значит, и , и будут подмножествами своего объединения;

2) ― объединение множества с самим собой никаких новых элементов ему не добавит (см. рис. 12);

3) ― если к множеству ничего не добавить (в пустом множестве нет элементов), то оно не изменится (аналог числового свойства: );

4)  ― если все элементы содержатся в , то его добавление к ничего нового для не добавит, поэтому останется самим собой (см. рис. 13).

Следующая операция ― пересечение множеств.

2. Пересечение двух множеств А и В ― это новое множество , которое состоит элементов, общих для обоих множеств:  (см. рис. 14).

Так, множество общих друзей в социальной сети у Пети и Васи ― это пересечение множества друзей Пети и множества друзей Васи (см. рис. 15).

Если таких друзей нет, то результатом пересечения множеств будет пустое множество (см. рис. 16).

Для этой операции пересечения множеств используется специальный знак пересечения «».

Для пересечения мы тоже можем указать несколько простейших свойств:

1)  ― пересечение содержит элементы, которые входят и в , и в , а значит, будет подмножеством обоих этих множеств;

2)  ― пересечение множества с самим собой ― всё множество (см. рис. 17);

3)  ― в пустом множестве нет элементов, поэтому его пересечение с любым множеством также пустое (аналог числовой операции: );

4)  ― если ― подмножество , то все его элементы содержатся и в , и в , то есть будет полностью лежать в пересечении множеств. Других элементов там быть не может, так как любой другой элемент не принадлежит (см. рис. 18).

Мы уже давно используем объединение и пересечение множеств при решении разных математических задач. Так, наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел ― это произведение простых делителей из пересечения множеств простых делителей чисел. А наименьшее общее кратное (НОК) ― произведение простых делителей из объединения этих множеств (см. рис. 19).

Решение любой совокупности уравнений и неравенств ― это объединение множеств решений каждого из них по отдельности.

Например, решая неравенство , мы получаем совокупность двух неравенств .

Решение каждого из них можно записать в виде интервала:

Затем мы эти два интервала объединяем в одно множество и записываем ответ:  (см. рис. 20).

Правда, в этом случае нам удобнее использовать не круги Эйлера, а интервалы на числовой прямой.

Другой случай ― это система уравнений и неравенств. Её решение ― это пересечение множеств решений каждого из них.

Например, решая систему мы пересекаем множества решений каждого неравенства и получаем решение системы:  (см. рис. 21).

Переходим к следующей операции.

3. Разностью множеств  и называется новое множество , состоящее из всех элементов , не принадлежащих элементам :  (см. рис. 22).

Для обозначения разности множеств используется знак наклонной черты «». Не путайте, он направлен в другую сторону, чем знак косой дроби «/».

Очевидны следующие свойства разности множеств:

1)  ― так как разность состоит исключительно из элементов , то она в любом случае будет подмножеством ;

2)  ― если из множества убрать все его элементы, то элементов не останется ― получится пустое множество (аналог числовой операции );

3)  ― если из множества ничего не убирать, то оно останется самим собой (аналог числовой операции ) (см. рис. 23).

Разность универсального множества и множества называется дополнением множества и обозначается с чертой наверху:  (см. рис. 24).

Очевидно, что .

Так, если универсальное множество ― это множество всех учеников школы, то дополнением к множеству М всех мальчиков будет множество Д всех девочек (см. рис. 25).

Если универсальное множество ― это множество действительных чисел , то дополнением множества рациональных чисел будет множество всех действительных нерациональных чисел, или, по-другому, множество иррациональных чиселI: .

Тогда  (см. рис. 26).

Числовые множества

В математике основное внимание уделяется числовым множествам.

Мы уже знаем, что числа бывают разных типов: целые, отрицательные, иррациональные и так далее. Опишем эту ситуацию на языке теории множеств.

Первые числа, с которыми мы познакомились ― это натуральные. Множество чисел вида: 1, 2, 3, 4, 5… (которые мы используем для счёта) ― называется множеством натуральных чисел и обозначается буквой .

Складывая два натуральных числа, мы всегда снова получаем натуральное число:

.

Говорят, что множество  замкнуто относительно операции сложения.

Чтобы определить операцию вычитания для любых двух натуральных чисел, их самих оказывается недостаточно. Действительно, , а вот чему равно ? Нет такого натурального числа х, которое бы в сумме с 5 давало 3 ), а вычитание мы определяем как операцию, обратную сложению:

.

Таким образом, множество не замкнуто относительно операции вычитания.

Чтобы исправить ситуацию, мы расширили понятие числа. Сначала ввели 0 как число, обозначающее отсутствие количества, а затем обозначили в качестве результата вычитания  такое число 2*, что его сумма с числом 2 была бы равна 0: .

Оказалось, что удобно использовать обозначение .

Полученное множество назвали множеством целых чисел и обозначили через .

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: . Или, проще говоря, включено в него (см. рис. 27).

Множество целых чисел уже замкнуто относительно операции вычитания. Мы можем вычесть из любого целого числа другое целое, получив в результате снова целое число.

Множества и замкнуты относительно операции умножения: произведение натуральных чисел ― натуральное, произведение целых ― целое:

;

.

А вот относительно деления уже не замкнуты ни множество натуральных, ни множество целых чисел.

В самом деле, если у нас только два этих множества, то мы не можем поделить 3 на 2:

.

Но мы знаем, что для решения некоторых задач поделить 3 на 2 можно. Три яблока между двумя людьми поделятся поровну, если одно из яблок разрезать пополам, то есть использовать не только целые яблоки, но и их части (см. рис. 28).

Для этого расширили понятие числа и ввели понятие дроби.

Все обыкновенные дроби образуют множество, которое мы назвали множеством рациональных чисел и обозначили буквой . Множество является его подмножеством. В самом деле, любое целое число ― это дробь со знаменателем 1. Таким образом,  (см. рис. 29).

Обратите внимание, что свойство «подмножественности», или «включения», если можно так выразиться, является транзитивным, то есть ― подмножество , а ― подмножество , из чего сразу следует, что ― подмножество :

.

Попробуйте доказать это для произвольных множеств  самостоятельно.

Множество уже замкнуто относительно четырёх основных арифметических операций ― сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). С этой точки зрения, множество ― уже очень удобный инструмент для решения многих задач.

Не хватать нам этого множества начинает уже при решении квадратных уравнений.

Уравнение  не имеет рациональных корней. Иначе говоря,  не является рациональным числом (), его нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Можно снова расширить понятие числа. Числа, не представимые в виде рациональных дробей, мы называем иррациональными. Множество таких чисел обозначают буквой .

Очевидно, что множество не просто не включается в , но попросту не имеет с ним общих чисел, то есть не пересекается:  (см. рис. 30).

Объединение этих двух множеств называется множеством действительных (вещественных) чисел и обозначается буквой : (см. рис. 31).

Таким образом, мы имеем вот такую цепочку включений:

.

И отдельно ещё одно включение:  (см. рис. 32).

Тем не менее, даже расширение чисел до множества действительных чисел не решило проблему поиска корней квадратных уравнений. Например, уравнение  не имеет решения на множестве действительных чисел. Или, как мы говорим, не имеет действительных корней.

Для решения этой задачи проводят дальнейшее расширение и строят множество комплексных чисел. Вводят новые числа, например корень из минус единицы: .

Обозначают новое множество буквой (см. рис. 33).

В множестве комплексных чисел уже любое квадратное уравнение имеет решение. Более того, в нём любое уравнение -й степени (в левой части стоит многочлен -й степени, справа ― 0) имеет корней, с точностью до повторений.

Например, договоримся считать, что уравнение  имеет два одинаковых корня  или корень (–2) кратности 2 (такая договорённость принята для удобства классификации).

Таким образом, мы получаем вот такую цепочку включений:

.

Конечные и бесконечные, счётные и несчётные множества

Если у множества конечное количество элементов, то его так и называют ― конечное множество. В противном случае, множество называют бесконечным.

Множество  ― конечное.

Множество всех чётных натуральных чисел ― бесконечное.

Для конечных множеств вопрос «а какое множество больше?» имеет простой ответ. У какого множества больше элементов, то и больше. Аналогично, легко сравнить конечное и бесконечное множества. Бесконечное больше конечного (см. рис. 34).

А вот сравнение двух бесконечных множеств ― это уже интересная задача.

Конечно, можно было бы сказать, что все бесконечные множества имеют одинаковые размеры, все они бесконечны. Тем не менее, можно выявить принципиальное различие между разными бесконечными множествами. То есть говорить, что одно бесконечное множество в некотором смысле больше другого бесконечного.

Представьте себе, что нам нужно понять, хватает ли стульев в классе для всех учеников, или может быть есть лишние и их можно передать в другой класс. В общем, нас интересует, какое множество больше.

У нас есть два способа:

1. Пересчитать всех учеников и все стулья и сделать нужный вывод.

2. Попросить сесть каждого ученика на стул и посмотреть, всем ли хватило (см. рис. 35).

Про второй способ говорят, что мы пытаемся установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами. Если это удастся, то есть каждому ученику нашёлся стул и ни один стул не остался пустым, то мы делаем вывод, что множества равны.

Этот способ применим и к бесконечным множествам.

Если для двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются равномощными (или у них одинаковая мощность). Для удобства сравнения мощностью конечного множества считается количество элементов в нём.

И тут мы получаем удивительные результаты.

Сравним два множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел .

C одной стороны . Поэтому хочется сказать, что его мощность меньше. Но это не так.

Попробуем установить взаимно однозначное соответствие между этими множествами. Выпишем множества целых и натуральных чисел следующим образом:

0; 1; –1; 2; –2; 3; –3…

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7…

Очевидно, между целыми и натуральными числами установилось взаимно однозначное соответствие (см. рис. 36).

Таким образом, они имеют одинаковые мощности, или ещё их называют эквивалентными множествами.

Так же не сложно доказать, что множество натуральных чисел и множество рациональных чисел тоже эквивалентны.

Все бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, называют счётными (их как бы можно посчитать, натуральные числа ― это те самые числа, которые мы используем для счёта).

Так может быть, все множества счётны? Нет, уже множество действительных чисел таковым не является.

Не существует способа каждому действительному числу приписать натуральный номер. Идея доказательства не очень сложная: пусть нам это удалось сделать хотя бы для действительных чисел из интервала (0; 1). Запишем все действительные числа этого интервала в виде десятичных бесконечных дробей в соответствии с полученной нумерацией. Построим теперь число, у которого первая цифра не совпадает с первой цифрой первого числа, вторая ― со второй цифрой второго и так далее (см. рис. 37).

Получившееся число не будет совпадать ни с одним из наших чисел (так как с любым из них оно различается как минимум одной цифрой). Но, вместе с тем, оно тоже будет принадлежать интервалу (0; 1). Мы пришли к противоречию ― думали, что занумеровали все, а осталось как минимум одно незанумерованное число. Значит, даже действительные числа отрезка (0; 1) нельзя занумеровать, что уж говорить о множестве (хотя, как ни парадоксально, но мощности множества (0; 1) и множества одинаковы).

Такие множества называются несчётными. Про множество действительных чисел говорят, что оно имеет мощность Континуума.

Существуют ли множества мощностей более высоких, чем континуум?

Да, существуют. Более того, несложно доказать, что для множества любой мощности можно построить множество большей мощности. Счётное множество ― самое «меньшее» в этом ряду.

Высказывания

Если основными объектами алгебры являются числа и их множества, то основным методом работы с ними является использование логики, или математической логики.

Основой логики является высказывание.

Под высказыванием подразумевают любое утверждение, про которое однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно.

Например, «сегодня понедельник» ― это высказывание, а «принеси мне чай» ― уже нет.

Примеры математических высказываний:

« ― целое число» ― это истинное высказывание.

«» ― тоже высказывание, только ложное.

Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами.

Для любого высказывания можно построить другое высказывание, которое называется его отрицанием, или коротко «не ». Обозначается оно как  ( с чертой).

Высказывания и  всегда имеют противоположные значения истинности: одно истинно, другое ложно. Например:

― истинно;

― ложно.

Не всегда мы можем указать истинность утверждения.

Например, .

До тех пор, пока для переменной не будет указано конкретное значение, мы не можем сказать, истинно оно или ложно.

Такие утверждения называются предложениями с переменными, или предикатами. Обозначаются они как .

Для них принято указывать множество значений переменной, на котором они заданы, то есть какие значения может принимать .

Например, предикат  может быть задан на множестве целых чисел или действительных чисел и не имеет смысла на множестве слов русского языка.

Множество, на котором задано предложение (предикат), разбивается на два множества ― множество истинности предложения (предиката) и множество ложности предложения (предиката).

Если предложение с переменной  задано на множестве целых чисел , множество натуральных чисел является его множеством истинности, а множество  является его множеством ложности.

Мы явно видим связь между предложениями и множествами.

Так, два предложения, заданные на одном множестве, называются равносильными, если у них совпадают множества истинности.

Например, два предложения  и , заданные на множестве целых чисел , имеют равные множества истинности. Следовательно, они равносильны.

Если в математике хотят сказать, что некоторое предложение верно для всех из некой области, то используют специальный знак, который называется квантором всеобщности .

Произносится он как «для любого», «для каждого», «для всех» выполняется предложение :

.

Квантор всеобщности превращает предложение с переменной в высказывание, для которого можно уже сказать, истинно оно или ложно.

Например, ― верное высказывание.

Если нужно указать, что предложение верно хотя бы для одного значения , то используют другой квантор ― квантор существования .

Например, ― верное высказывание.

Пример неверного высказывания можно привести такой: .

Чтобы подтвердить истинность высказывания с квантором существования, достаточно привести хотя бы одно значение переменной, при котором утверждение верно. Чтобы подтвердить ложность высказывания с квантором всеобщности, то есть опровергнуть его, достаточно привести хотя бы одно значение переменной, при котором утверждение неверно.

Попробуйте обосновать эти два утверждения самостоятельно.

На следующем уроке мы продолжим разбираться с логикой высказываний и с тем, как она используется в математике.

Список литературы

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углублённый уровни / [Ш. А. Алимов и др.]. — М.: Просвещение, 2017–2019.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ru.wikibooks.org» (Источник, Источник).

Домашнее задание

1. Имеются множества  и .

а) Запишите множество .

б) Запишите множество .

в) Запишите множество .

г) Запишите множество .

2. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера следующую формулу: .

3. В классе 30 учащихся. Из них 6 учеников не играют ни в шашки, ни в шахматы, 20 учеников играют в шашки, 16 ― в шахматы.

Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?

Решение проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера.

4. Задайте множества ,,,, если ,.

5. Какое утверждение верно?

Решение проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера.

а) Пересечение множеств чётных и простых чисел ― пустое множество.

б) Объединение множеств прямоугольников и ромбов ― это множество параллелограммов.

в) , если , где и ― произвольные множества.

г) , где и ― произвольные множества.