10. Иррациональные уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Базовый уровень

Иррациональные уравнения

Мы умеем решать много различных видов уравнений. И для каждого из них мы рассматривали свои специфические методы решения.  Но можно выделить 3 основные идеи, которые используются для решения практически любых изученных нами уравнений.

Идея 1: свести уравнение к более простому (в идеале – к уравнению, для решения которого есть универсальный алгоритм). В большинстве случаев – мы приводим уравнение к линейному или квадратному, которые умеем решать по алгоритмам.

Идея 2: использовать свойства выражений (функций). Решая любое уравнение, мы работаем с выражениями разных типов: дробные, степенные, тригонометрические, логарифмические и т. д. Используя их свойства, мы можем преобразовать левую и правую части уравнения, или обе одновременно.

Идея 3: использовать замену. Если мы видим повторяющуюся часть в уравнении – можно ее заменить на новую переменную. Если это система – можно заменить несколько выражений на несколько новых переменных.

Применяя одну или несколько из этих идей, мы можем решить практически любое уравнение. Дальше все дело в технике. На этом уроке мы поговорим о технике решения иррациональных уравнений, то есть уравнений, содержащих переменную под корнем.

С иррациональными уравнения вы уже знакомы – мы учились решать уравнения с квадратными корнями (Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений). Напомним, что для их решения необходимо было:

1. учесть ОДЗ;

2. возвести обе части в квадрат, используя свойство: 

3. решить полученное уравнение: обычно линейное или квадратное.

При этом могли возникать «лишние» корни, поскольку возведение в квадрат обеих частей уравнения не является тождественной операцией. Полученное в результате уравнение обязательно будет иметь корни исходного (если обе части верного равенства возвести в квадрат, то получится верное равенство), но необязательно только их (возведя в квадрат обе части неверного равенства , получим верное равенство ). Поэтому в конце нужно было еще проверить полученные корни, подставив их в исходное уравнение.

Для простых иррациональных уравнений с квадратными корнями этого было достаточно. Возвели в квадрат, решили, выполнили проверку. Но сейчас мы перейдем к решению более сложных уравнений с корнями любой натуральной степени, поэтому подробнее разберемся, откуда возникают «посторонние» корни.

Начнем с уравнения . Его даже решать не надо – мы уже знаем, чему равен . Возведем обе части уравнения в квадрат: . У этого уравнения уже 2 корня, появился посторонний корень .  Он является корнем второго уравнения, но не является корнем исходного. Посмотрим, откуда он появился, подставив его в первое уравнение: . Равенство неверное. Но если мы возведем обе части в квадрат, получим уже верное равенство.

Как же избежать появления посторонних корней? Видим, что они появляются, когда в левой и правой части равенства стоят противоположные числа. Очевидно, что они не равны, а вот их квадраты будут уже равны. Поэтому до возведения в квадрат можно потребовать, чтобы левая и правая части уравнения имели одинаковый знак. Тогда возведение в квадрат будет тождественной операцией и посторонние корни возникать не будут.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

ОДЗ: . Чтобы избавиться от корня нужно возвести в квадрат. Смотрим на знаки левой и правой части:  – по свойству квадратного корня, – по ОДЗ. Обе части уравнения имеют одинаковые знак. Значит, можем возвести в квадрат и при этом не возникнет посторонних корней:

Получили квадратное уравнение, корнями которого являются  и . Они оба входят в ОДЗ, следовательно, это и будут корни исходного уравнения.

Ответ: ;.

В общем случае можно записать так. Пусть у нас есть уравнение вида , где  и – некоторые рациональные выражения. В частности, это может быть и просто число. Для решения нужно:

1. учесть ОДЗ: ;

2. поскольку , то нужно потребовать, чтобы ;

3. возвести обе части уравнения в квадрат, получив уравнение вида ;

4. решить полученное уравнение – оно будет уже рациональным, методы решения таких уравнений вы уже знаете;

5. проверить ОДЗ и выполнение условия .

По сути, мы в общем виде выписали тот алгоритм, который применили в первом задании. Этот алгоритм можно упростить. В уравнении  правая часть неотрицательна. Следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: . Поэтому для корней уравнения  ОДЗ будет учтена автоматически, ее проверять дополнительно не нужно.

Обратите внимание, что в этом алгоритме мы использовали те общие идеи, о которых говорили в начале урока. Во-первых, использовали свойства корней для преобразования уравнения; во-вторых, свели уравнение к рациональному, методы решения которого мы уже изучали ранее.

Рассмотрим указанный алгоритм на примере.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение.

1. как мы уже сказали, ОДЗ будет автоматически учтена, ее можно не записывать:

2. левая часть неотрицательна, значит и правая тоже:  или

3. возводим в квадрат:

4. получили квадратное уравнение , методы его решения вы уже знаете. Попробуйте решить его самостоятельно. Должны получить корни: ;.

5. осталось проверить условие . Оно выполняется только для второго корня.

Ответ: .

Рассмотрим теперь решение уравнений с корнями более высоких степеней.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение.

Идея решения та же, что и в квадратных: избавиться от корня, использовав свойство . В данном примере, чтобы избавиться от корня третьей степени, нужно возвести обе части уравнения в куб:

Проверяем:

Обратите внимание: в отличие от квадратных корней, здесь нет ограничения ОДЗ. В кубических корнях под корнем может стоять любое число. Кроме того, при возведении в третью степень мы не будем получать посторонних корней. Посмотрим, почему.

При возведении в квадрат у нас были проблемы с противоположными числами. Мы из неправильного равенства могли получить правильное. При возведении в третью степень таких проблем не будет, ведь кубы противоположных чисел также будут противоположными числами. Из неправильного равенства мы получим лишь неправильное.

Для корней других степеней алгоритмы будут аналогичными. При возведении в четную степень нужно будет проверять условие на знаки левой и правой части. При возведении в нечетную степень такая проверка не нужна.

Итак, мы указали алгоритмы для решения уравнений вида:

Но изначально иррациональное уравнение может иметь и другой вид. Рассмотрим пример.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Для решения воспользуемся идеей: свести уравнение к тому, которое мы уже умеем решать. Для этого оставим корень с одной стороны, все остальное перенесем в другую:

Разделим на  обе части:

Итак, мы свели уравнение к виду , а их алгоритм решения мы только что изучили. Попробуйте самостоятельно решить его. Здесь у нас корень квадратный, значит, понадобится алгоритм для возведения в четную степень. Должны получить ответ: и x = 3. Проверить ход решения вы можете, посмотрев ответвление.

Решение примера

1. Левая часть неотрицательна, значит и правая тоже:

Или:

2. Возводим в квадрат обе части уравнения:

3. Решаем полученное уравнение. Избавляемся от дроби, умножая на знаменатель обе части уравнения:

Раскрываем скобки:

Получили квадратное уравнение. Переносим все в одну сторону:

Можем решить разложением на множители:

Тогда:

4. Проверяем условие . Оба корня удовлетворяют условию:

Ответ: ;. 

Более сложные иррациональные уравнения

Мы разобрали примеры, в которых иррациональное уравнение сводится к рациональному. Но этот же алгоритм подойдет и в тех случаях, когда в итоге мы получим любой другой тип уравнения, которое мы уже умеем решать. Например, тригонометрическое уравнение. Решение подобного примера вы можете посмотреть в ответвлении. Оно обязательно для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

Решение иррационально-тригонометрического уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Чтобы получить тригонометрическое уравнение, нужно избавиться от квадратного корня. Обратите внимание, что  нам не мешает: по сути, это просто число, поэтому избавляться от корня  степени нам не нужно. Действуем по алгоритму.

1. Правая часть должна быть неотрицательной:

Поскольку  – положительное число, то можно на него разделить неравенство без смены знака и получить:

2. Возводим в квадрат обе части уравнения:

Используя свойства степеней и корней, можем упростить выражение:

Получим тригонометрическое уравнение:

3. Решим это уравнение, используя метод разложения на множители:

Произведение равно нулю, значит:

Решим по отдельности уравнения. Первое:

Второе:

не является решением данного уравнения, можем разделить обе части на :

4. Проверяем условие :

Неравенство выполнено, корни подходят.

Рассмотрим 2 случая. Если – четное число (). Тогда:

Неравенство выполнено, корни подходят.

Если – нечетное число (). Тогда:

Неравенство не выполнено, корни не подходят.

Получаем две серии решений:

Ответ: .

Не во всех примерах нам сразу удастся привести уравнение к виду . Посмотрим, что делать в таких случаях.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

В отличие от предыдущих примеров, здесь у нас два корня, а не один. Поэтому просто перенести корень в одну часть, остальное в другую – не выйдет. Здесь нам на помощь придет еще одна общая идея, озвученная в начале урока – замена. Обратите внимание, что выражения с неизвестной  и  очень похожи. Можем ввести новую замену:

Тогда по свойству корней и степеней:

Получаем квадратное уравнение:

Итак, с помощью замены мы свели иррациональное уравнение к квадратному. Решая это квадратное уравнение, получаем  корня:

Это еще не все решение, нужно сделать обратную замену. Получим:

Осталось решить иррациональные уравнения. Они уже имеют вид , поэтому мы можем с этим справиться. Начнем с первого:

Степень нечетная, можем просто возвести в пятую степень:

Получили квадратное уравнение. Квадрат выражения равен положительному числу, значит:

 можем вычислить:

Получаем:

Аналогичным образом решаем второй уравнение . Возводим в  степень:

Решаем квадратное уравнение:

Никаких ограничений на значения у нас не было, поэтому получаем в ответе все 4 корня.

Ответ: ;;;.

Задание 6. Решить уравнение:

Решение.

Здесь у нас целых 3 корня. И замена здесь не поможет: подкоренные выражения все разные. Что же делать в этом случае? Ничего страшного, можем попробовать применить все тот же алгоритм.

Перенесем корни так, чтобы в какой-то части уравнения был только 1 корень. Лучше всего перенести тот, что со знаком минус. Почему так – увидим чуть позже:

Шаг 1. Чтобы избавиться от корней, нужно возвести обе части в квадрат. При чем слева и справа у нас уже стоят неотрицательные выражения, так что новых ограничений не появится. Именно поэтому мы перенесли корень с минусом – чтобы он поменял знак.

Шаг 2. При возведении в квадрат получим:

В правой части, по свойству корня, сразу получим:

Левую часть придется раскрыть по формуле квадрата суммы:

В правой части у нас автоматически учитывалось ОДЗ (как во всех предыдущих примерах). В левой же части нам придется его учесть:

С учетом этого, по свойствам степеней:

Левая часть примет вид:

Шаг 3. Получим уравнение:

При условии:

Мы получили более простое, но все еще иррациональное уравнение. Придется применить алгоритм еще раз. Тут у нас уже 1 корень, такое уравнение мы умеем решать. Оставляем корень в левой части, остальное – в правую:

Делим на :

Шаг 1. Левая часть должна быть неотрицательна: . Но это же условие у нас было и ранее.

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:

Шаг 3. Получили квадратное уравнение. Можно решить его различными способами. Сделаем это, например, разложением на множители:

Шаг 4. Проверим условия на корни, которые мы получали в ходе всего решения. У нас их было :

Оба корня удовлетворяют условием, значит, оба подходят.

Ответ: ;.

При решении этого уравнения мы некоторые ОДЗ учитывали, некоторые – были автоматически учтены. Если вам не очень понятно, где какие, вы можете в ходе решения вообще не рассматривать ОДЗ и ограничения при возведении в квадрат. Но тогда обязательно в конце нужно подставить все полученные корни в исходное уравнение и проверить их. Или, наоборот, выписывать все ОДЗ и ограничения, а в конце проверять, удовлетворяют ли им полученные корни. Будет проделано немного лишней работы, зато точно не ошибетесь.

Мы рассмотрели различные виды иррациональных уравнений. Но в математических моделях могут встретиться и иррациональные неравенства. Для их решения у нас есть универсальный метод – метод интервалов. Напомним:

1. переносим все части неравенства в одну сторону;

2. решаем соответствующее уравнение;

3. расставляем на оси корни этого уравнения и особые точки ОДЗ;

4. находим знаки на полученных интервалах, выбираем нужные интервалы.

Подробнее о методе интервалов вы можете вспомнить, посмотрев соответствующий видеоурок (Решение квадратных неравенств. Метод интервалов). Метод интервалов позволяет свести задачу решения неравенства к тому, что мы уже научились делать – к решению иррациональных уравнений.

Системы уравнений

Вторую часть урока мы посвятим решению различных систем уравнений и неравенств. Начнем с систем уравнений. Здесь нового нам не придется ничего придумывать. Мы будем использовать то, что уже знаем: методы решения систем уравнений и методы решения отдельных уравнений: показательных, логарифмических, степенных.

Задание 7. Решить систему уравнений:

Решение.

Первое уравнение системы – линейное. Из него удобно выразить одну переменную через другую, так что будем использовать метод подстановки.

Подставляем во второе уравнение:

Итак, мы получили показательное уравнение с одной неизвестной. Алгоритм решения знаем. Приводим к общему основанию:

Основания равны, значит, равны и показатели степени:

Получили квадратное уравнение, корнями которого являются ;. Не забываем найти вторую неизвестную:

Получаем 2 пары решений:

Ответ: ;.

Аналогично, методом подстановки можно решать и некоторые системы с логарифмическими уравнениями. С примером такой системы вы можете ознакомиться в ответвлении

Система с логарифмическим уравнением

Задание. Решить систему уравнений:

Решение.

Из первого уравнения легко выразить одну переменную через другую. К примеру, выразим  через :

Подставим во второе уравнение:

Получили логарифмическое уравнение с одной неизвестной. Такие мы уже умеем решать.

Запишем ОДЗ: ;. Приведем левую и правую части к одному основанию:

Получим уравнение:

Основание равны, значит, равны и подлогарифмические выражения:

Решая данное квадратное уравнение, находим корни: ;. Второй корень не входит в ОДЗ. Остается . Не забываем найти вторую неизвестную:

Получаем единственную пару решений:

Ответ: .

Рассмотрим еще одну систему, которую можно решить методом подстановки.

Задание 8. Решить систему уравнений:

Решение.

Из первого уравнения легко выразить , так что сделаем это:

И подставим во второе уравнение:

Получилось не слишком «приятное» уравнение. Неизвестная стоит и в основании степени, и под логарифмом, который еще и является степенью. В общем непросто. Но не стоит отчаиваться. Мы попробовали выразить  через  в первом уравнении – и у нас ничего не получилось. Но есть еще варианты: можно выразить  через , можно использовать второе уравнение. Попробуем выразить из первого уравнения  через :

Или, по определению логарифма:

Подставляем во второе уравнение:

Это уже простейшее показательное уравнение. Основания равны, значит:

Решениями этого уравнения являются:

Соответствующие им значения :

Получаем 2 пары решений:

Ответ: ;.

Подведем итог этого задания: если метод подстановки не сработал в одном случае, попробуйте выразить другую переменную или использовать другое уравнение.

Еще один стандартный метод решения систем – это метод замены. Если в системе 2 неизвестные, можно вместо них ввести 2 новые.

Задание 9. Решить систему уравнений:

Решение.

На первый взгляд здесь 4 разных выражения с неизвестными: ;;;. Но давайте вспомним свойства логарифмов. Степень внутри логарифма можно вынести:

Тогда:  и  (с учетом ОДЗ: ). Теперь у нас лишь 2 разных неизвестных выражения, можем ввести замену:

, тогда

, тогда

После замены получим систему:

Это система линейных уравнений, ее мы умеем решать. Например, решим методом умножения и сложения. Первое уравнение умножим на :

Полученное уравнение прибавим ко второму:

Найдем вторую неизвестную:

Выполним обратную замену:

Это уже простейшие логарифмические уравнения. Может их решить по определению логарифма:

Ответ: .

С решением еще одной системы уравнений с помощью замены вы можете ознакомиться в ответвлении. Оно обязательно для просмотра ученикам профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

Система уравнений с заменой

Задание. Решить систему уравнений:

Решение.

Видим похожие выражения:  и , а также ; и . Можем ввести  новые переменные:

,тогда по свойству степени:

, тогда по свойству степени:

Получим систему уравнений:

Получили систему рациональных уравнений, ее уже можно решить методом подстановки. Из первого уравнения:

Подставляем во второе уравнение:

Корнями этого квадратного уравнения являются: ;. Соответственно: ;. Выполняем обратную замену:

В первом случае первое уравнение не имеет решений, значит, и вся система не имеет решений. Во втором случае получаем решения:  и . Это и будет ответ: .

Ответ: .

Задание 10. Решить систему уравнений:

Решение.

В этом примере хочется сделать замену: все ведь очень похоже! Но ничего не выйдет: если мы обозначим , то выразить , будет крайне неудобно. Поэтому будем действовать по-другому. Вспомните, что мы можем делать с системой? Можем складывать и вычитать уравнения. Тут это не поможет. Зато у нас есть свойства степеней с одинаковыми основаниями при умножении и делении! Давайте перемножим левые и правые части уравнений. Они не равны нулю, так что мы можем это делать:

По свойству степеней:

Получим уравнение:

, тогда:

Основания равны, значит, равны и показатели степени:

Мы получили линейное уравнение. И теперь систему можно решить методом подстановки:

Подставляем в любое из уравнений системы:

Преобразуем левую часть:

Получим:

Тогда:

Ответ: .

Список рекомендованной литературы

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matznanie.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить уравнение: 

2. Решить уравнение: 

3. Решить систему: